Inspiracja: [1] oraz [2]
Dzieci w przedszkolu i pierwszej klasie posługują się liczmanami po to, by się nauczyć liczyć – głównie dodawać i odejmować. Liczmanowa oferta rynkowa jest oszałamiająca. Na przykład, za jedne 122 złp firma Oskar (klik na obrazek) sprzedaje taką oto ślicznotę, zachwalając ją ciekawie:
„Liczmany wykonane są z estetycznego i trwałego tworzywa, starczą na lata szkolnej nauki. W porównaniu do papierowych liczmanów charakteryzują się nie tylko wysoką żywotnością, lecz również łatwością manipulacji...”
Za moich czasów też mieliśmy liczmany - kolorowe patyczki, które brudziły ręce, oraz kasztany i żołędzie, które na zadanie domowe trzeba było nazbierać w celu liczmanowania. Niestety, żywotność tych siermiężnych liczmanów była bardzo niska, może do kolana. Nie starczały na lata nauki, i trzeba było czym prędzej nauczyć się liczyć na papierze i w głowie. Innymi słowy, szkoła była peerelowska i zacofana, pomoce naukowe kosztowały kilka złotych, aż wstyd. A teraz - liczmany dzięki swej żywotności dotrwają do gimnazjum, a nawet do studiów.
Liczmany są przykładem interfejsu, międzymordzia po polsku – żeby coś zrobić, robi się toto gdzie indziej, na innej niwie, w innym wszechświecie, coś jak outsourcing... Korzystniej i łatwiej, wystarczy tylko wynik przeflancować z powrotem do oryginalnej sytuacji. W matematyce (i nie tylko) pełno takich sztuczek. Na przykład, zawiłości logicznych predykatów można rozwikływać przy pomocy rachunku zbiorów, te zaś „liczmanować”, przedstawiając je jako kształty na płaszczyźnie. Są to tzw. „diagramy Venna”. Operacje logiczne między zdaniami stają się operacjami na zbiorach. Diagramik (klik po źródło)
przedstawia iloczyn mnogościowy i ilustruje koniunkcję, czyli zdanie typu „a i b”. Owe diagramy są psychologicznie podobne do ślicznotek-liczmanów, jako że mogą uzależnić, i wtedy trudno będzie poza nie wyjść. Jednak, owe operacje logiczne czy teoriomnogościowe na zbiorach można „włożyć” w elementarną algebrę, nie algebrę Boole’a (co brzmi przerażająco), ale zwykłą szkolną algebrę. Ba! - nawet w prostszą jej wersję.
Otóż, zbiorowi A przyporządkujemy jednoznacznie indykator a =1A – funkcję przyjmująca wartość 1 na zbiorze A, oraz 0 na jego dopełnieniu. I oto dostajemy prościutki zapis operacji:
1A∩B=ab, 1A∪B=a+b-ab, 1A\B=a(1-b),
etc. Na przyklad, prawa de Morgana dla dopełnień sumy i iloczynu odpowiadają oczywistym tożsamościom algebraicznym, które są nawet prawdziwe dla wszystkich liczb, nie tylko dla zer lub jedynek.
(A∪B)c=Ac∩Bc ↔ 1-(a+b-ab)=(1-a)(1-b),
(A∩B)c=Ac∪Bc ↔ 1-ab=(1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b).
Zbyt proste? No, to zajrzyjmy do podręcznika Kazimierza Kuratowskiego „Wstęp do teorii mnogosci i topologii”. Niestety, nie mam pod ręką odpowiedniej strony wydania polskiego. W zastępstwie możemy zerknąć na polską stronę 23-ą, uprzejmie zeskanowaną przez Józefa K. Wybierzmy któreś z bardziej skomplikowanych zadanek, na przykład to z różnicą symetryczną. Kuratowski oznacza ją kreską z kropką, ale nie mam takiego symbolu pod ręką, więc zastąpię go innym, dostępnym. Różnicę symetryczną określa się jak następuje, zaś obrazek z diagramem Venna można znaleźć w wikipedii, linkowanej wyżej:
A⊕B=(A\B)∪(B\A)
Algebraicznie, nawet prościej:
a⊕b=|a-b|
W zadaniu 2 Kuratowski prosi czytelnika o dowiedzenie łączności tego działania:
A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C
W naszej algebrze można rozwazyć wszystkie osiem możliwości zer i jedynek dla wielkości a, b, c, by zobaczyć prawdziwość odpowiadającej tożsamości:
|a-|b-c|| = ||a-b|-c|
A można w skrócie: dla b=0, mamy oczywistość
|a-c| = |a-c|.
Dla b=1 – również (drobna robótka konieczna):
|a-(1-c)| = |(1-a)-c|.
Inne, podobne zadania na dowodzenia u Kuratowskiego wychodzą równie łatwo. No, to może odrobinę trudniejsze:
A⊕B⊂(A⊕C)∪(C⊕B).
W naszej algebrze jest to zwykła nierówność trójkąta, prawdziwa nawet dla dowolnych liczb
|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
Stąd, dysponując miarą – na przykład, gdy A, B, C,… są figurami na płaszczyźnie, zaś miara – polem powierzchni, np. |A|, |B|, |C|,... otrzymujemy narzędzie do mierzenia stopnia różnienia się owych figur:
d(A,B)=|A⊕B|,
czyli metrykę. Dokładniej – jest to prawie-metryka, bo z relacji d(A,B)=0 powinno wynikać, iż A=B, a nie całkiem to musi zachodzić... chyba, że się tak umówimy.
Zatrzymajmy się tutaj, by zbyt się nie rozpędzić i nie zgubić wątku. Chodzi przecież o międzymordzia. Tak jak liczmany – czy patyczki, czy kasztany – są międzymordziem dla palców, tak i algebra z arytmetyką stały się międzymordziem dla logiki i rachunku zbiorów (a przedtem, te ostatnie – wzajemnymi międyzmordziami). Nie tylko załatwiają stare (po)rachunki, ale pozwalają na nowe, zaś i stare, i nowe stają się szybsze i sprawniejsze. To prawda, że gubią się pewne sensy i wizje, ale powstają nowe. Dwa sensy za cenę jednego – czy to zła promocja?
Jest takie straszliwie brzmiące słowo „transformata”. Ponieważ rymuje się z „armata”, „dezyderata”, i „dolina Jozafata”, przeciętny człowiek pierwej stanie na głowie i chwyci się lewą ręką za prawe ucho, lub zagłosuje na nielubianego polityka - nim zacznie toto rozstrząsać. Ale w bajkach, jak np. w „Harry Potter”, ani nie mrugnie, gdy jakaś postać przetransformuje się w psa lub kota. Człowiek wiele może, ale czasami kot potrafi więcej, korzyść więc oczywista. Też - głos zamienia się w impuls elektryczny, biegnie przewodem, albo nawet bez, i znowu zamienia się w głos... i nikogo to nie bulwersuje.
Pocimy się, różniczkując? Żaden problem – korzystamy z tabel (też interface) ułożonych przez mądrzejszych, albo ... transformujemy wysiłek w inną domenę. Użyteczna transformata ma zwykle jakąś nazwę, oddającą cześć historycznemu celebrycie naukowemu. I oto – transformata Laplace’a (pokrewna transformacie Fouriera) zamienia znój ręcznego różniczkowania w prostą algebrę.
Nie pytaj, czym jest transformata Laplace’a – pytaj, co ona robi. A robi tyle, co liczmany – funkcję f(t) (dla uproszczenia, przyjmijmy, że jest zahaczona w zerze, f(0)=0, wraz ze wszystkimi pochodnymi, zawsze 0 w zerze), zamienia w inną funkcję F(s) (tak jak jeden palec zamieniony jest jednym kasztanem, dwa palce – dwoma, etc.). No, ważne jest, że można powrócić (trzy kasztany – to trzy palce, cztery kasztany – cztery palce)...
I wtedy branie pochodnej – to zwykłe mnożenie. Pochodna – to s⋅F(s), druga pochodna – jeszcze raz pomnóżmy przez „s” – s2⋅F(s), etc. Po wykonaniu elementarnej algebry, wracamy do oryginalnej domeny wraz z wynikiem operacji – niemal za darmo. Ba, ale przecież kto każe ograniczać się do mnożenia przez potęgi całe? Dlaczego by nie pomnożyć, np., przez pierwiastek z „s”, s1/2. Czy to znaczy, że bierzemy pochodną rzędu 1/2 ? A... tak! Rzędu dowolnego ułamka? Też. Ale co to znaczy?
Jak można to zobaczyć?
A czy trzeba?
Przecież nikt nie upiera się przy zobaczeniu muzyki, ani przy konieczności ujrzenia smaku jajecznicy ze szczypiorkiem! Jednak, dobrze jest widzieć co się je, i dobrze jest widzieć, jak i kto gra. Ale to przecież luksus - przyjemny, lecz niekonieczny.
Czy to jest „prawdziwe” różniczkowanie, czy raczej pseudoróżniczkowanie? Zwij jak chcesz, ale jest, jak jest. Ot, przerzucamy problem do międzymordzia, jest ono ponad spodziewanie bogatsze w możliwości, tam pracujemy, wracamy z czymś, czego byśmy nie mieli, pocąc się „prawdziwie”. To tak, jak u Sienkiewicza, tylko że z happy endem – wyjeżdżamy jak ten latarnik za chlebem, wracamy nie tylko z chlebem, ale i z torbą ciastek, i paczką czegoś nowego, co nie wiemy czym jest, ale jest całkiem smaczne.
[1] (← powrót) Off-topic pod notką Józefa K. „Fufanie cygareta - polska kultura narzekania”
[2] (← powrót) komentarz mankomaniaka o pseudoróżniczkowaniu
