Ostatnio przypomniane zostaly przekroje Dedekinda, i miło, iż Przypominający nie zapomniał o moim eseiku sprzed 3 lat na odnośny temat.
Cóż te przekroje kroją?
Z odbioru czytelników wynika, iż kroją one linię prostą lub odcinek. Wrażenie podbudowują obrazki z mądrych książek. Otóż - nie. Nie można kroić tego, czego nie ma. Stąd, obrazek z nożyczkami przekrawywującymi nić jest ładny, ale niezbyt mądry.
A co jest? Są liczby wymierne. Kroi się - czy też przekraja, przecina - zbiór liczb wymiernych. Powstaje dziura, i dorzucajac te dziury do zbioru liczb wymiernych, tworzy się liczby rzeczywiste. Zbiór liczb rzeczywistych - to taki bez dziur, bo zostały one doń dodane. Na przykład, pierwszy przykład to pierwiastek z 2, takoż pierwszy na sztandarze liczb niewymiernych.
Zgadujemy, że liczby wymierne tak się nazywają, bo można je "wymierzyć". A dlaczego pierwiastek z 2 jest niewymierny? Bo nie można go wymierzyć. Czyżby? Zbudujmy kwadrat (przypuśćmy, że umiemy). Weźmy czystą linijkę, bez podziałki, i zaznaczmy na niej długość przekątnej. Spróbujmy teraz zmierzyć długość boku kwadratu - czy da się? Nie, nie da się.
Podobnie, liczba π jest sztandarową liczbą - pono niewymierną, takoż 2π - długość obwodu okręgu o promieniu 1. Lecz, postępując podobnie - lecz ze sznurkiem raczej niż z linijką, węzełkiem zaznaczając na nim 2π - stwierdzamy, że łatwo zmierzyć i π, i π/2, i nawet 7π. A jedynki - promienia - zmierzyć się nie da. Z punktu widzenia przekątnej kwadratu lub obwodu okręgu, 1 – to liczba niewymierna.
Ciekawe, kto wymyślił taką dziwaczną nazwę? Śniadeccy zapewne. Wydaje się, że jest to właściwość twórców języka polskiego, by udziwniać terminy, przeważnie pochodzące z łaciny lub greki. Niemal wszystkie języki europejskie, i większość poza kontynentem, posługuje się innym określeniem, opartym na proporcji - na stosunku dwóch liczb całkowitych, np. rational po angielsku, rationnel po francusku.
Wśród języków europejskich możliwy wyjątek stanowi język bretoński i islandzki. W pierwszym, liczba wymierna to ""niver feurek", zaś w tym drugim - ""ræðar tölur". "Niver" - to po bretońsku liczba... ale "feurek" - nie wiem. Mój bretoński jest mocno zardzewiały, zaś poszukiwania w dostępnych sieciowych słownikach prowadzą donikąd - słowo występuje tylko w parze z pierwszym, i nigdzie osobno.
Może ktoś wie, co znaczy po bretońsku "feurek"?
W islandzkim – podobny, ale nieco inny problem ze słowem "ræðar". Też nie występuje (na sieci) samoistnie, jedynie w połączeniu z "tölur" - "liczbą". Niemniej, Islandczycy mają słowo "ræðari", oznaczające wioślarza (i być może, ogólniej, człowieka posługującego się narzędziami, rzemieślnika), zaś "róa" oznacza wiosło.
Sugeruje to rzemieślniczy aspekt określenia liczby wymiernej, podobnie jak w polskim. Aspekt ważny, a jednak dziwaczny - podobnie jak w nazwie pokazanego na obrazku mechanizmu zapadkowo-zębatkowego. Niby nic, a jednak...
Słowo się gwałtem odciska. I tak, przechodząc do przeciwieństwa - liczby niewymiernej, negacja budzi podejrzenia, iż z takimi lepiej uważać, że lody jakieś one kręcą, że mają pewien brak, są dziurawe, ich nie ma ... Ba! Przecież one są dziurami wcielonymi!
Zaciekawiony, sięgnąłem do prawie oryginału pracy Dedekinda o jego „Schnitte”, czyli kęsach, prawie – do tłumaczenia z roku 1901 na język angielski. Być może, w następnym odcinku podzielę się wrażeniami, choćby dlatego, iż oryginalne przekroje nie były dokładnie takie, jak się dziś w podręcznikach i wikipediach przedstawia. Jednego jestem pewien – były bardziej urocze.
