M1 - matrysie

Proszę państwa - oto miś.
Miś jest bardzo grzeczny dziś.
Chętnie Państwu łapę poda...

 

Istnieje różnica między zbiorem liczb a ich ciągiem. Pierwszy – zbiera je bez żadnego porządku, drugi –porządkuje je, nie zawsze jasne jak. I tak - {3,1,2} jest bezładną kolekcją, zaś (3,1,2) wprowadza porządek. Pierwsze – to samo, co {1,2,3} lub {1,3,2}, drugie – (1,2,3) i (1,3,2) – każde inne.

 

Nazwijmy taki uporządkowany system liczbowy – wektorem. A gdzie strzałka? Strzałka niekonieczna, wymyślona bądż to przez fizyków, bądź przez ludzi Cro Magnon, którzy z lubością je malowali na ścianach jaskiń.  

 

 

Wektor – uporządkowany ciąg liczbowy – zapisujemy różnie. Gdy możemy je wyliczyć – to i wyliczamy, w tekście zgodnie i linijkowo z nim, np. (6,4,5,3,2,1). Czasami wolimy zapisać inaczej, np. jako kolumnę:
 

Znowuż, wygodnie bywa podzielić ów na części, i przedstawić w postaci prostokąta:
 

lub
 

Kolumna i wiersz też sa prostokątami, tylko chudymi. Takie przedstawienie zwie się macierzą – wyżej, licząc wiersze i kolumny - „2 na 3”, potem „3 na 2”.

 

Dlaczego „macierzą” – gdzie mać? Przecież to jasne – wykreślając wiersz i kolumnę (weź większy prostokąt, niekoniecznie raptem "dwa na trzy" albo "trzy na dwa", niech "siedem na trzynaście"), widzisz mniejszy ciąg (czy też macierz) , i cały ich miot - posuwając się wzdłuż wiersza lub kolumny; jakby prosiaczki wychodzące z łona ciężarnej lochy – wiele ich. I rzeczywiście – słowo „macierz” jest bliższe „maciory” niż „matriksowi” (dominującemu rozumienie dziś, dzięki pewnemu kultowemu filmowi). Zaś prosiaczki – czyli „młode” – to minory. Tak sobie James Jospeh Sylvester wymyślił, gdy odkrył tak straszliwie abstrakcyjny koncept łamania długich ciągów w poręczne prostokątne tablice. Podobno wyrzucono go ze szkoły, gdzie nauczał matematyki, gdy połamał linijkę (też wektor) na grzbiecie niezbyt rozgarniętego ucznia. Nie ma obawy - te czasy nie wrócą!

 

Oczywiście, gdy to odkrycie doszło nad Wisłę, te prostokątne przedstawienia ciągów natychmiast przetłumaczono na dumną ”macierz”, zamiast na budzącą mieszane uczucia „maciorę”. Duch Śniadeckich czuwa – „rachunek macierzowy” brzmi elitarniej i godniej (acz onieśmielająco), niż „rachunek macior”, co byle chłop prowadzi.

 

Działania na zbiorze, z którego bierzemy elementy ciągu, przenoszą się natychmiast na działania na ciągach, element po elemencie, przecinek po przecinku. Umiemy liczby dodawać? Zatem umiemy dodawać ciągi. Umiemy liczby mnożyć przez liczbę? Takoż i ciąg liczbowy da się pomnożyć przez liczbę. Działania po współrzędnych, lokalne. A są i też działania globalne, nieredukowalne do działań na poszczególnych współrzędnych, gdy w działaniu uczestniczą wszystkie elementy. Na przykład, iloczyn skalarny:

 

(a, b, c,...) . (A, B, C,...) = aA + bB + cC + ...

 

Dlatego nazywamy go „skalarnym”, gdyż w wyniku otrzymujemy liczbę, a nie ciąg-wektor, zaś „skalar” jest synonimem liczby, wprowadzonym w celu odróżnienia roli współdziałających obiektów. 

 

Ciąg jednolementowy też jest wektorem – pojedynczą liczbą, a więc jest zarazem skalarem. Liczby mogą więc zarazem grać dwie role – wektora i skalara. To wiadomo już z przedszkola, bądź pierwszych klas szkoły podstawowej, gdy przychodzi czas na naukę tabliczki mnożenia.

 

Oto trzy jabłka, ustawione w dwa rzędy (rysunek proszę!) – ile mamy jabłek? No, 2 x 3 =6. Ale dwójka - to nie to samo co trójka, jedna oddaje rzędy, druga – jabłka. A 3 x 2? Trzy rzędy po dwa jabłka, czy też dwie kolumny z trzema jabłkami w każdej? Przecież rząd czy kolumna - to nie to samo, co jabłko.

 

 

Ciągi liczb rzeczywistych możemy przedstawiać geometrycznie, pojedyncze liczby widzimy jako punkty na prostej, pary – rozpoznajemy jako  punkty na płaszczyźnie, trójki – punkty w przestrzeni. Odwołujemy się wtedy do współrzędnych kartezjańskich, tak nazwanych ku uczczeniu Kartezjusza. Odnosimy się do ramy - systemu osi współrzędnych, następnie – do płaszczyzn przez nie rozpiętych; współrzędne ciągu określają odległości od tych ram, zaś ich znaki – przynależność do części prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, na które ramy ją dzielą – półproste na linii prostej, ćwiartki lub kwadranty na płaszczyźnie, ósemki lub oktanty w przestrzeni. Interpretacja geometryczna dla ciągów, o długości przekraczajacych 3, nie jest naturalna dla naszych przyrodzonych zmysłów, i wymaga odpowiedniego treningu.

 

Skoro lwy, a nawet szczury, można trenować, dlaczego nie zmysły? Oto przykładowe punkty w tych przestrzeniach:

 

1, (2,-3), (1,0,-1), (4,3,2,0), (2,3,-2,5,1), ...

 

Cóż szkodzi, że na razie trudno „widzieć” niektóre z nich?

 

Acz kłaść w ciągi można dosłownie wszystko, ograniczmy się tutaj do liczb. Choć wiele jest rodzajów liczb, pozostaniemy przy liczbach zespolonych - poczekajmy jednak, aż ich potrzeba się wyłoni.

 

Macierz jest ciągiem-wektorem, ułożonym w prostokąt. Dobrze jest go oddzielić od świata zewnętrznego, np. okragłymi nawiasami (niektórzy wolą kwadratowe), tak jak poniżej w przypadku macierzy kwadratowej „3 na 3”:

 

 

Wiersze lub kolumny macierzy również są ciągami – zatem wektorami. Wprowadzamy transpozycję – zamianę wiersza w kolumnę lub kolumny w wiersz. Posłużymy się gwiazdką ze względów typograficznych, ale nie tylko dlatego, zamiast powszechnie używanej litery „T” jako indeksu górnego. Na przykład:

 

 

Pełny zapis macierzowy wymaga sporo miejsca. Możemy je oszczędzić kosztem przejrzystości, zapisujac macierz w linijce, odzielając przecinkami elementy wierszy, zaś wiersze – średnikami. A więc, powyższą macierz kwadratową można zapisać jako (1,0,3;-1,2,1;0,-1,4), zaś przykładowe transpozycje – (1,0,3)*=(1;0;3), (1;-1;0)*=(1,-1,0) (przecinki i średniki są zamieniane). Wiersze wciąż pozostają widoczne, gorzej z kolumnami.

 

Nie chce podać?
A to szkoda!