M2 – mnożynki

Potrzebna będzie czysta kartka papieru i ołówek. Odrzucam manierę wykonywania rysunków i ilustracji dla czytelników, bo taki prezent - to jak gryźć i żuć bułkę komuś.

Kolej na mnożenie macierzy – odmienne od mnożenia współrzędnych wektorów i osobnego zapisywania iloczynów. Tak, mnożymy odpowiednie wyrazy, ale ich iloczyny dodajemy, dokładnie tak jak w iloczynie skalarnym. Najprostszy przykład:

Mnożymy tu macierz „1 na 3”przez macierz „3 na 1”, i wyniku otrzymujemy liczbę, czyli macierz „1 na 1” (nawiasy w tym przypadku zwykle pomijamy). Nasuwa się pytanie, dlaczego zrezygnowaliśmy ze zgodnego zapisu wektorów i  symetrii widocznej w definicji iloczynu skalarnego, tak uprzednio miłych dla oka. Dlaczego wybieramy żmudniejszą asymetrię? Odpowiedź brzmi: ponieważ ta konwencja zapisu pozwala na prostą kontynuację, na rekursję. Łatwo teraz określić i wykonywać mnożenie macierzy dowolnych wymiarów, byle by te przylegajace wymiary (a nie kierunki) były zgodne. Na przykład, macierz „2 na 3”, pomnożona przez macierz „3 na 1”,  da w wyniku macierz „2 na 1”:

A teraz – jeszcze jeden przykład „literkowo-liczbowy”, mnożymy macierz „2 na 3” przez macierz „3 na 2”, otrzymując macierz „2 na 2”:

W tym momencie, droga Czytelniczko lub Czytelniku, jeżeli nie zakrzykniesz – zaraz lub po kilku własnoręcznych próbach – „Ach, przecież to bardzo proste!”, nie wolno Tobie czytać dalej, nie możesz wyjść poza ten akapit – No pasarán! W pierwszym wrażeniu, wydawać się może, iż znacznie łatwiej byłoby „nie przekręcać”, tzn. mnożyć nie wiersz przez kolumnę, ale kolumnę przez kolumnę (lub wiersz przez wiersz). Wymagałoby to jednak wstępnego transponowania macierzy z lewej strony. Gdy rachunki opierały się na starodawnych mediach, takich jak liczydło, papier i ołówek, czy nawet taśma gwoździem perforowana, potem magnetyczna gwoździem magnetycznym magnesowana – to przestawienie może i miało swoje krótkotrwałe zalety. Rachunek taki zwie się „rachunkiem krakowianowym” ku uczczenia miasta, słynącego z gołębi, gdzie powstał – lecz dziś znajduje się w muzeum wraz z dorożkami i parowozami, zbrojami a kuszami, i namiotami spod Wiednia.

Mnożenie macierzy jest teraz jasne, przynajmniej na poziomie rachunków. Pozostaje zobaczyć, co ono robi. Gdy macierzą kwadratową przemnażymy pionowy wektor, wtedy przekształcamy go w nowy wektor. Zatem, przekształcamy płaszczyznę – gdy macierz „2 na 2” mnoży wektor „2 na 1”, przekształcamy przestrzeń – gdy macierz „3 na 3” mnoży wektor „3 na 1”, itd. - podobnie w wyższych wymiarach. Ach, zaraz – co to jest ten „wymiar”? Na razie przyjmijmy, iż jest to wysokość – liczba elementów – tego pionowego wektora, lub też jeden z wymiarów (właśnie!) macierzy kwadratowej.  Potem przyjrzymy się temu pojęciu dokładniej.

Zostańmy na płaszczyźnie – naszej wrodzonej tablicy, którą łatwo widzieć, na której łatwo rysować... Mamy dwa wektory bazowe, (1,0)* i (0,1)* (mimo zapisu poziomego, są to pionowe wektory - dzięki gwiazdce transpozycji), które rozpinają kwadrat jednostkowy. To znaczy, rysujemy strzałki, zaczynające się w środku (0,0)układu współrzędnych,a kończące się w punkcie o podanych współrzędnych. Innymi słowami, utożsamiamy wektor-strzałkę z jej końcem (z tym samym początkiem dla wszystkich).

Tu uprzedzę zarzut, żem uprzednio kręcił nosem na strzałki jako wektory. Ale to przecież normalne – strzałki są jak cukierki, w zasadzie niezdrowe, ale kto odmówi dziecku cukierka?

Zauważamy, że macierz A=(a,b; c,d) przekształca pierwszy wektor na pierwszą kolumnę (a;c), zaś drugi wektor- na drugą kolumnę (b;d). Te dwa wektory tworzą równoległobok. Zatem, A przekształca kwadrat na równoleglobok, i całą płaszczyznę - podobnie. Pobawmy się przez chwilę prostymi przekształceniami. Jaka będzie macierz odbicia w osi poziomej? No, pierwszy wektor bazowy się nie zmienia, zaś drugi – zmienia znak. A odbicie w przekątnej? Odpowiednio:

A obrót o kąt α w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara? Tu trzeba rysunku i nieco trygonometrii. Pierwszy wektor (1;0) po obrocie ma współrzędne (cos α; sin α), zaś drugi wektor (0;1) – (-sin α;cos α). Czyli macierzą obrotu jest

Bardzo proszę o rysunki - strzałki są jak najbardziej mile widziane, choć z rezerwą jak słodycze na Haloween.

A teraz, odrobinka fizyki. Oto leży sobie na stole gruba książka (lub ryza papieru) o grubości jednostkowej, my zaś naciskając jej górną okładkę, popychamy ją poziomo. Książka popchnięta – gdy tarcie zapobiega przesunięciu dolnej okładki - przybierze kształt równoległoboku, zaś kraniec  górnej okładki przesunie się o wielkość a. Patrzymy z boku, więc mamy przekształcenie płaskie, zapisane przy pomocy macierzy. Znów – śledzimy li tylko wektory bazowe, przekształcone zapisując jako kolumny:

Gdy przedłużymy wektory bazowe do ich przeciwnych, to zobaczymy wyraźnie (proszę narysować!) akcję nożyc, z rozwartych pod kątem prostym przechodzą bądź w kąt ostry, bądź rozwarty, w zależności czy popychamy okładkę w prawo, czy w lewo. Fizycy celnie zwą to przekształcenie ścinaniem, matematycy – wstyd, przyznaję – powinowactwem osiowym. Ale jak entomolodzy mogą dziwacznie nazywać owady i ptaki, to czemu matematykom wzbraniać dziwaczenia? No, matematycy anglosascy nazywają to przekształceniem nożycowym (shear transformation). To paskudne przekształcenie; nie tylko dlatego, że lepiej z nim nie biegać.

By zrozumieć, co jest nienormalnego w przekształceniu nożycowym, musimy wpierw zrozumieć, co jest dobrego w normalnych przekształceniach. Wróćmy do tych odbić - czy to w jednej z osi, czy w przekątnej - których macierze znaleźliśmy w ułamku sekundy. Rozważmy odbicie w prostej y=3x, przechodzącej przez punkty (0,0) i (1,3) (rysunek proszę!). Wystarczy znaleźć obrazy wektorów bazowych; nietrudne to przy pomocy podstawowej geometrii i trygonometrii, ale dość żmudne –zajmuje chwilę.

Prawda, że dobrą chwilę?

Dlaczego tak? Odpowiedź jest prosta – wektory bazowe mają służyć wszelkim możliwym przekształceniom; jednym służą dobrze, a innym – nie bardzo. Coś jak rząd, który w uszczęśliwianiu wszystkich nie omieszka niejednego wpędzić w mizerię. Ale powyższe odbicie ma swoje własne, lepsze wektory bazowe. Wystarczy mu wybrać wektor jednostkowy wzdłuż prostej, oraz wektor doń prostopadły (rysunek proszę!).  Jeżeli ktoś umie wyliczyć współrzędne tych wektorów – niech wyliczy, a gdy nie umie lub nie chce – niech je nazwie, oznaczy. Powiedzmy, ten wzdłuż – to u, ten w poprzek prostopadły – to v. Wtedy wektor u nie zmienia się – przechodzi na siebie samego, zaś v przejdzie na wektor sobie przeciwny, na – v. Zatem, biorąc tę parę za układ odniesienia, zamiast tej uniwersalnej pary wektorów bazowych (1;0) i (0;1), nieżyczliwej naszemu odbiciu, w nowym układzie macierz przybierze prostą postać

Dla odmiany, zajmijmy się rzutem prostopadłym na tę prostą. Znowuż te dwa wektory u i v służą wyśmienicie - ich obrazami (rysunek proszę!) są kolumny macierzy (która teraz odnosi się do u i v)

Widzimy więc, że niektóre przekształcenia mają swe własne, osobiste wektory, względem których zapisują się prosto i elegancko. Macierz może posiadać niezerowe elementy tylko na przekątnej. Podsumowując, te własne, osobiste niezerowe wektory w przekształcenia A spełniają równanie

Aw =λw

gdzie λ jest pewną liczbą. Czytamy to równanie tak – wektor w przechodzi niemal w siebie, z dokładnością do przeskalowania, niechby przez 0.

W przypadku odbicia – symetrii - mamy λ=1 lub λ=-1, w przypadku rzutu - projekcji - mamy λ=0 lub λ=1. Są to własne, osobiste wartości, związane z tym własnymi, osobistymi wektorami danego przekształcenia. Pozostaje je nazwać... cóż lepszego, jak wektory i wartości własne nazwać... własnymi. Oczywiście, zamiast tego można użyć jakiejś fikuśnej nazwy, pochodzącej z łaciny lub innego języka, lub mieszanki języków. Proszę bardzo – chłopaki zaimponują dziewczynom, dziewczyny chłopakom: eigenvectors i eigenvalues, taka hybryda niemieckiego i angielskiego...

Może wkrótce na kartkach walentynkowych pojawią się – „Czy chcesz być moją wartością wlasna?” Dziewczyny oczywiście będą pytać nieco inaczej – „Czy zostaniesz moim wektorem własnym?”

Teraz widzimy – dobre, normalne przekształcenie to  takie, które ma wystarczający zasób wektorów własnych. A nożycowe przekształcenie ma tylko jeden wektor własny, i nijak – nawet stając na głowie, lub wyruszajac na pielgrzymkę poza skraj Galaktyki – więcej nikt nie znajdzie.

A to feler...

Zaś obrót? Hm... niby też nie ma, ale zupełnie inaczej nie ma. Obrót na płaszczyźnie jest projekcją obrotu w przestrzeni – wtedy wektor jednostkowy osi obrotu, prostopadłej do płaszczyzny, jest wektorem własnym. Ale nie tędy droga, bo i tak będzie brakować wektorów własnych. W ich poszukiwaniu trzeba otworzyć drzwi do innego świata, w nadziei na znalezienie własnego, pełnego układu odniesienia.

Wtedy feler okaże się być tylko pozornym, tkwiącym w nas raczej ograniczeniem naszego przyjętego na codzień wszechświata. Okazuje się on być raptem miniświatem, półświatkiem, li tylko zaściankiem na uboczu rzeczy prawdziwie się dziejących... Wynika może z obawy przed ruszeniem z miejsca, przed niewygodami i niepewnością podróży.