Każda liczba jest specjalna, ale niektóre liczby są specjalniejsze . Pierwiastek z dwóch – jako pierwsza napotkana liczba niewymierna („moja pierwsza Barbie”, albo „mój pierwszy scyzoryk”, „mój pierwszy bal”, etc. – tyle tych „pierwszych razów” było...)? E, może przez chwilę, potem się nudzi.
Liczba π i liczba e – to jest to!
Co to jest π? A co to jest kąt prosty?
Na drugie pytanie najpowszechniejszą odpowiedzią jest - bądź „90 stopni”, bądź „pi pół”. Oczywiście, żadna z tych dwóch odpowiedzi nie jest prawidłowa. W mojej próbce – około 100 odpowiedzi, jedna była dość dziwna. Mianowicie, miła panienka - parsknąwszy - kopnęła nogę stołu, a z jej oczu wyczytałem, iż chętnie by mnie kopnęła w kostkę.
I to była jedyna prawidłowa odpowiedź wśród stu... Czyż takie kopnięcie nie jest nazwą pojęcia?
Te popularne odpowiedzi odpowiadają na inne – nie zadane - pytanie: „Ile mierzy kąt prosty?”. A jaka różnica, ktoś zapyta – „mierzy, jest – jeden pies”. Ech, najciężej wytłumaczyć rzeczy oczywiste...
Za Euklidesem – recepta: przetnij prostą na płaszczyźnie inną prostą. Co widzisz? Widzisz cztery części. Są to kąty. Próbuj – raz tak, raz siak. Czy jest jeden podział sprawiedliwy – taki, iż wszystkie cztery kąty są równe? Skąd wiadomo bez miary, że są równe? Taż ja mówię – wiadomo. Jest jeden jedyny przypadek, gdy są. Będziesz widzieć, gdy zobaczysz.
No dobrze, a co z tym π? Kusi by odrzec, że jest to 3,141592... ale pewnie to zła odpowiedź. No tak, to przedstawienie rzeczy, a nie rzecz sama. Może jakiś przepis na wyliczenie, jakiś ułamek, jakiś wzór, jakaś historyjka? O – wzór?! Coś się tam błąka w pamięci – jakiś szereg? Zapytaj matematyka – jest li szereg na π? Odpowie – jest, nawet mnóstwo, i także są produkty, oraz... Tu lepiej szybko zmykać, by nie oszaleć, z jedyną konkluzją - no, jest wzór na π, więc to jest właśnie π.
A czemu nie prosto – π to długość połowy okręgu o promieniu jednostkowym?
A skąd wiadomo, że taka długość istnieje, że ma sens? No, obwiedziemy okrąg sznurkiem, od początku do końca, czyli do początku, rozprostujemy, złożymy wpół – o, patrzcie państwo, oto π!
Ale serio?!
To jest serio. Takie szybkie π można wprowadzić w sposób następujący. W kwadrat o boku 2 wpisujemy okrąg – ma więc on promień 1. Dzielimy koło na równe kąski - 2, 4, 8... Każdy kąsek na dwa, i znów, i znów. Kąski rozpinają wieloboki foremne. Każdy kąsek – to nie tylko wycinek koła, ale też i trójkąt równoramienny, o określonej podstawie. Suma tych podstaw – to obwód wieloboku. Nietrudno zobaczyć, że obwód wzrasta wraz z podziałami. Także, że jest ograniczony przez obwód kwadratu, równy 4.
Mamy więc rosnący i ograniczony ciąg liczbowy. Tu musimy przywołać Aksjomat Kresu Górnego (chyba nikt nie myślał, że bez aksjomatów się obejdzie?) – który mówi dokładnie tyle, iż nasz (i nie tylko)
(AKG) ograniczony ciąg rosnacy ma kres górny – liczbę rzeczywistą.
Podzielmy ją przez 2, i nazwijmy... jak by tu, jak by tu... aha! – π.
Zamiast wpisywać wielokąty w okrąg, można by je opisywać na okręgu– bylibyśmy bardziej zgodni z duchem sznurka, otaczajacego koło. Rozumowanie jednak znacznie (no – trochę) by się skomplikowało - na odwrót, niż w praktyce , bo „wklejanie” sznurka od wewnątrz okręgu jest technicznie trudniejsze.
Zauważamy, że podział dwójkowy jest niesłychanie łatwy, najłatwiejszy ze wszystkich, bo z ogólniejszym– podziałem przez 2, 3, 4, ..., n,... – trzeba by się jednak trochę pomęczyć.
Anglosasom łatwiej to podejście rozumieć, bo wymawiają oni „paj”, dokładnie tak samo jak „pie” – ciasto okragłe. Podobnie – Włochom (bo „πzza”). Choć pizze trafiły i pod polskie strzechy, jednak to za krótko, by powstało skojarzenie; dlatego zapytani o π, mówią 3,1415... bez skojarzenia z pizzą. Co wykształceńsi chwalą się erudycją, mówiąc – „ludolfina”.
A co z liczbą e? Ano, to 2,7172... źle, bo to tylko rozwinięcie dziesiętne, prawda? Ano, tak - źle. Więc co to jest, jaka recepta?
Może w wikipedii się znajdzie? Pierwsza linijka daje „wykształciuchowskie” określenie, w sam raz do wyrecytowania. Potem jednak pojawiają się konkretne definicje – wiele ich, lecz którą wybrać? Matematykowi – wszystko jedno, inżynierowi prawdopodobnie bardziej wyliczeniowa definicja przypadłaby do gustu. Ekonomista - ciułacz lub kredytobiorca - zachwyci się definicją Bernoulliego... Może pozostańmy przy niej, bo jest „namacalna”.
Procent składany – jakie to fascynujące! Masz sumkę, inwestujesz ją (lub pożyczasz z banku) na rok na 15%, i za rok masz (lub masz dług) „sumka plus 15% sumki”. Zapiszmy to wzorem. Sumka – S; zaś rata procentu niech będzie dowolna – r>0.
Zatem, po roku mamy S(1+r), po dwóch latach (nic nie dodając, nic nie ujmując) – S(1+r)², po trzech - S(1+r)3, etc.
Ale to był procent roczny. A gdy mamy procent miesięczny? Spróbujmy najprościej – dzielimy tę roczną ratę r przez 12, i po 12 miesiącach będziemy mieć S(1+r/12)12. Widać, że to nie to samo, co S(1+r). Ale więcej, czy mniej?
Zamiast podziału na 12 miesięcy, można rozważyć podział na 52 tygodnie, na 365 dni, godziny, sekundy, nanosekundy, etc. Ogólnie - na n części. Stąd, pytamy o wzrastanie lub zmmniejszanie się ciągu
![[;a_n=\left(1+\frac{r}{n}\right)^n;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\left(1+\frac{r}{n}\right)^n "a_n=\left(1+\frac{r}{n}\right)^n")
Nie tak prosto to rozstrzygnąć (co można zaobserwować w wikipedii). Jednak, podział dwójkowy jest znów niesłychanie prosty. Albowiem
![[;\left(1+\frac{r}{2}\right)^2\ge 1+r;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\left(1+\frac{r}{2}\right)^2\ge 1+r "\left(1+\frac{r}{2}\right)^2\ge 1+r")
Więc przez powtarzanie (iterację):
![[;a_{2^n}(r)=\left(1+\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}\ge a_{2^{n-1}}(r);]](http://www.codecogs.com/gif.latex?a_{n}(r)=\left(1+\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}\ge a_{n-1}(r) "a_{2^n}(r)=\left(1+\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}\ge a_{2^{n-1}}(r)")
Podobnie,
![[;\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2}\right)^2}\le \frac{1}{1-r},;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2}\right)^2}\le \frac{1}{1-r}, "\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2}\right)^2}\le \frac{1}{1-r},")
stąd – znów przez iterację – otrzymujemy ciąg malejący
![[; b_n(r)=\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}}.;]](http://www.codecogs.com/gif.latex? b_n(r)=\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}}. "b_n(r)=\frac{1}{\left(1-\frac{r}{2^n}\right)^{2^n}}.")
Ponieważ
![[; 1+x\le \frac{1}{1-x};]](http://www.codecogs.com/gif.latex? 1+x\le \frac{1}{1-x} "1+x\le \frac{1}{1-x}")
Stąd (nie przez iterację, ale bezpośrednio)
![[; a_1(r)\le a_n(r)\le b_n(r)\le b_1(r);]](http://www.codecogs.com/gif.latex? a_1(r)\le a_n(r)\le b_n(r)\le b_1(r) "a_1(r)\le a_n(r)\le b_n(r)\le b_1(r)")
czyli oba ciągi są zbieżne na mocy AKG. Stąd, otrzymujemy funkcję rosnącą, dając jej miano „E”. Dla dodatnich r:
![[;E(r)=\lim_n a_n(r) ;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?E(r)=\lim_n a_n(r) "E(r)=\lim_n a_n(r)")
zaś dla ujemnych:
![[; E(r)=\lim_n b_n(-r) ;]](http://www.codecogs.com/gif.latex? E(r)=\lim_n b_n(-r) "E(r)=\lim_n b_n(-r)")
i uzupełniając o oczywistą wartość E(0)=1.
Wartość tej funkcji dla gangsterskiej raty r=1 oznaczamy przez e, i to jest właśnie to.
Nie wiem, czy widoczna była zabawna (jak dla kogo) rzecz. Mianowicie, łatwiej otrzymać całą funkcję E(r), niż pojedynczą wartość. Sprawdza się więc plotka, iż matematycy, by odpowiedzieć na jedno pytanie, zamiast tego budują całą teorię, i dopiero wtedy podają odpowiedź jako szczególny przypadek tej teorii. Ale zbudować teorię łatwiej!!!
Żeby zakończyć ten temacik, winno się jeszcze sprawdzić, iż E(r)E(s)=E(r+s), i stąd wywnioskować, że E(r)=er. Trochę rachuneczków, więc może zostawmy to na zaś.
