M5 – gdzie naprawdę obroty się obracają?

12/12/12 – jak mówili Klingoni – „dobry dzień na zamieszczenie notki”.

Przyjrzyjmy się Naturze – zobaczymy okręgi, na przykład kroplą deszczu na wodzie wywołane, lecz te okręgi nie czynią tego, do czego są predestynowane – nie obracają się. Wiry, huragany, tory planet? To nie są okręgi – to spirale lub elipsy. Jedyne obracające się okręgi są sztuczne – są dziełem rąk ludzkich. Człowiek wynalazł koło, Natura (jaką znamy) – nie.

Obrót pomógł nam zrozumieć, czym jest symetria, i zdjął gębę urojenia, przyprawioną liczbie urojonej - obrót jest najdoskonalszym przekształceniem płaszczyzny. Złożenie obrotów jest obrotem, cofnięcie obrotu jest obrotem. Nawet nierobienie „niczego” jest obrotem – obrotem o kąt zero; ma ono swoją ekskluzywną macierz, zwaną klasycznie identycznością lub „eye”: (po polsku: „macierzą jednostkową”)

$[;I= \left(\begin{array}{rr} 1 &0 \\ 0 &1\\ \end{array}\right). ;]$

Oczywiście, każdy niezerowy wektor jest wektorem własnym I o wartości własnej 1.

Obrót o kąt α zapisujemy przy pomocy macierzy, kładąc jako jej kolumny obrazy wektorów bazowych (0;1) oraz (1;0) (są to wektory pionowe - na co wskazuje średnik; dzięki niemu możemy zapisywać pionowe wektory w jednej poziomej linii):

$[; \left(\begin{array}{rr} \cos \alpha &-\sin \alpha \\ \sin \alpha &\cos \alpha \\ \end{array}\right). ;]$

W przeciwieństwie do innych przekształceń płaszczyzny, takich jak symetria lub projekcja, obrót na naszej płaszczyźnie nie ma wektorów własnych, z wyjątkiem α=0, ale to identyczność, oraz α=π; - wtedy macierz to –I, i znów dowolny niezerowy wektor jest wektorem własnym, ale o wartości własnej-1. To ostatnie przekształcenie można postrzegać jako „symetrię punktową”, albo złożenie dwóch symetrii osiowych (kolejne odbicia w dwóch prostopadle ustawionych lustrach).

Poza tymi wyjątkami, obrót wydaje się cierpieć na ten sam defekt, dręczący przekształcenie nożycowe; nawet bardziej, bo to ma choć jeden wektor własny. Innymi słowy, nie możemy w ramach naszej płaszczyzny zapisać obrotu w prostej, przekątniowej formie.

Czy to nasze ograniczenie, czy też ramy za ciasne?

Może to ma związek z odwracalnością? Symetria jest odwracalna... nożyce też, ale projekcja (inaczej: rzut, choć nikt niczego nie rzuca, ani dzidą, ani ziemi) – nie. No przecież – rzuć jajko na podłogę, nie da się t-egg-o cofnąć. Więc – chyba nie to?

A jednak...

Kiedy nie można przekształcenia odwrócić? Wtedy, gdy równoległobok - obraz kwadratu, rozpiętego przez wektory bazowe - redukuje się do odcinka; czyli, gdy kolumny macierzy są wektorami równoległymi. Ponieważ zaczepione są w zerze – środku okładu współrzędnych, jedna jest przeskalowaniem (rozciągnięciem lub skróceniem) drugiej. Zobaczmy, jak to wygląda dla dowolnego przekształcenia, nazwijmy i oznaczmy je poniżej:

$[;A= \left(\begin{array}{rr} a &b \\ c &d\\ \end{array}\right). ;]$

Kolumny są równoległe, gdy istnieje scalar λ (cichaczem wprowadzamy nowe greckie litery dla oznaczania skalarów, proszę nie pomylić z kątami) taki, że

$[;\left(\begin{array}{r} a \\ c\\ \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{r} b \\ d\\ \end{array}\right). ;]$

Wtedy prawe strony będa równe. Odejmując strony równań, wnioskujemy, że kolumny, czyli obrazy wektorów bazowych, są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

$[;ad-bc=0;]$

Inaczej - ta arytmetyczna kombinacja elementów macierzy wyznacza bez litości, czy dane przekształcenie jest odwracalne, czy nie jest. Nie dziwota więc, że nazwana jest wyznacznikiem, zaś po angielsku lub z grubsza po łacinie - determinant. Jak zawsze gdy napotykamy novum, prócz miana przyda sie oznaczenie:

$[;|A|=ad-bc.;]$

Na przykład, dla macierzy obrotu:

$[;|A|=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1;]$

Tu – gorliwy czytelnik zapragnąć może czegoś podobnego dla przekształceń w przestrzeni, lub nawet w wyższych wymiarach, niczym nowej generacji smartphone’u - co to koleżanka ma, a on jeszcze nie posiadł... Jednak, czy chcemy wiedzieć jak rzeczy pracują, czy też mamy roztrwaniać się w trywialne detale żmudnych obliczeń? Tak, wyznaczniki dla wyższych wymiarów istnieją, tylko wymagają większego potu, wobec braku pluszowych wzorów, przyjemnych w oku i dotyku.

W tym rzecz, iż odwracalna macierz tylko wektor zerowy, i nic więcej, przekształca w wektor zerowy. Innymi słowy, macierz jest nieodwracalna, gdy istnieje niezerowy wektor v, przekształcany w wektor zerowy.

Zatem, przepisując warunek dla istnienia wektora własnego (oznaczajac go przez v)

$[; A {\boldmath v}=\lambda {\boldmath v}=\lambda I{\boldmath v} \Rightarrow (A-\lambda I)\,{\boldmath v} = {\boldmath 0};]$

Innymi słowy, macierz A -λ I jest nieodwracalna, czyli jej wyznacznik wynosi 0.

Policzmy ten wyznacznik dla macierzy obrotu. Przyrównując do zera, otrzymamy równanie kwadratowe

$[;(\cos\alpha-\lambda)^2+\sin^2\alpha=0 \Rightarrow \lambda^2 -2\lambda\,\cos\alpha+1=0;]$

Jego dwa rozwiązania, czyli dwie wartości własne, to

$[; \lambda_{1,2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha};]$

Znajdujemy odpowiadające im wektory własne v=(v₁, v₂). Dla wartości własnej cos α - i sin α,

$[;\left(\begin{array}{rr} i\sin\alpha&-\sin \alpha \\ \sin \alpha & i\sin\alpha \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2 \\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 0\\ 0 \\ \end{array}\right).;]$

Wykluczając α = π, możemy po wyłączeniu sin α podzielić przezeń. W rezultacie otrzymujemy równanie (podwojone, więc wystarczy zapisać jedno):

$[;v_2=i v_1 ;]$

Wybieramy v₁ = 1, dostając v₂=i. Podobnie, wychodząc z wartości własnej cosα+ i sinα, otrzymujemy równanie v₂ = -iv₁, i stąd wektorem własnym może być (i;1) (lub to, pomnożone przez dowolny skalar - liczbę zespoloną).

Dlaczego akurat takie wybory? Powiedzmy, że tak jest ładnie, bo wektory są prostopadłe – tzn., ich iloczyn skalarny wynosi zero:

$[;\left(\begin{array}{r} 1\\ i\\ \end{array}\right)^* \left(\begin{array}{r} i\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 1& -i\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} i\\ 1\\ \end{array}\right)=i-i=0 ;]$

Tu uważny czytelnik aż kipi, by wskazać błąd. Uprzednio operacja „gwiazdka” oznaczała transpozycję – zmianę wierszy w kolumny i na odwrót. A wyżej kolumna zgwiazdkowana nie tylko stała się wierszem, ale w środku nastąpiła dodatkowa zmiana – ”i” przemieniło się w „-i”, w swoje sprzężenie.

Musimy zrozumieć, jak to jest po drugiej stronie lustra – tafli jeziora Świteź, nie tylko gwiazdy gwiazdami się odbijają, lecz gwiazdozbiory też, lecz - odbite - zmieniają orientację. Uprzednio występowały w macierzach liczby rzeczywiste (jakby pojedyncze gwiazdy), a teraz mamy liczby zespolone (jakby gwiazd konstelacje). I oto czym naprawdę jest transformacja „gwiazdka” – przekształca nie jeden element, ale przekształca przeksztalcenie, nie tylko zamienia wzajem kolumny z wierszami, ale i sprzęża:

$[;\left(\begin{array}{rr} a &b \\ c &d\\ \end{array}\right)^*=\left(\begin{array}{rr} a^* &c^* \\ b^* &d^*\\ \end{array}\right). ;]$

Przypominam, że z przyczyn typograficznych gwiazdki zastąpiły kreseczki. Jak kto od kreseczek nie potrafi się oderwać, to jeszcze raz (dzięki geniuszowi Donalda Knutha) to samo – tylko kreseczkowo:

$[; \left(\begin{array}{rr} a &b \\ c &d\\ \end{array}\right)^*=\left(\begin{array}{rr} \overline{ a}&\overline{c} \\ \overline{b} &\overline {d}\\ \end{array}\right). ;]$

I oto mamy już dwa wektory własne (1;i) oraz (i,1). Możemy je unormować – pmnożyć przez 1/√2 – by stały się wektorami jednostkowym. Po unormowaniu zapisujemy je jako kolumny macierzy kwadratowej:

$[;U=\left(\begin{array}{rr} \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{array}\right);]$

Wygląd trochę ucierpiał, ale i na wygląd jest rada – potrzebny drobny makijaż. Oznaczmy

$[;S_1=\left(\begin{array}{rr} 0 &1\\ 1& 0\\ \end{array}\right) ;]$

“S₁” – ponieważ mamy do czynienia z symetrią względem przekątnej. Ponieważ spodziewamy się dalszych symetrii, dlatego zaczynamy je numerować.

$[; U=\frac{1}{\sqrt{2}} \, I+i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \,S_1;]$

Przypominam, iż nasze wektory własne- to kolumny macierzy, i poddawane są one tym samym operacjom, co złożona z nich macierz. I teraz, pytanie czym jest ta macierz U? Rozpoznajemy jej składowe – mówiliśmy o nich uprzednio, widzimy w części rzeczywistej proste przeskalowanie, zaś w części urojonej – przeskalowaną symetrię diagonalną. Są to przeksztalcenia płaszczyzn – teraz w liczbie mnogiej (ach, czemu gramatyczna „liczba podwójna” wyszła z użycia!), bo każda działa niezależnie. Dwie płaszczyzny tworzą czterowymiarową przestrzeń, ale to tylko z punktu widzenia liczb rzeczywistych. Dla liczb zespolonych jest to przestrzeń dwuwymiarowa, ponieważ jednowymiarową jest płaszczyzna zespolona. Tę przestrzeń przekształca macierz U.

Zatem, jest to rodzinna, własna przestrzeń obrotu. Popatrzmy nań raz jeszcze, wprowadzajac na scenę kolejną symetrię S₂ – ale działającą już w rozszerzonej 4-wymiarowej przestrzeni:

$[;S_2 = \left(\begin{array}{rr} 0 &-i\\ i& 0\\ \end{array}\right) ;]$

$[; \left(\begin{array}{rr} \cos \alpha &-\sin \alpha \\ \sin \alpha &\cos \alpha \\ \end{array}\right) =\cos\alpha \,I-i\, \sin\alpha\, S_2 ;]$

Już przednio makijaż służył poprawieniu urody, a tu znów makijaż się „poprawia”, wsadzając liczbę „i” do środka, i zarazem wyciagając ją na zewnątrz?

No, dokładnie na tym polega makijaż, - trzeba go wciąż poprawiać, dokonując czasem dziwnych z pozoru manipulacji – ale tylko z pozoru. Nazwaliśmy S₂ symetrią, choć oko temu przeczy – nie widzi symetrii. Ale nasze oczy przystosowane są do świata „rzeczywistego” (wolałbym go nazwać „codziennym” lub „zwyczajnym”). A przecież przeszliśmy już na drugą stronę lustra.

Symetria jest właściwością akcji, przekształcenia, transformacji – nie zaś jej obrazka (macierzy). Tą akcją jest gwiazdkowane odbicie – sprzężenie. Nie jest to symetria macierzy względem jej przekątnej, ani nie jest to symetria geometryczna. Na przykład, symetryczna macierz rzeczywista (1/2,0;0,0) opisuje nieortogonalną projekcję na oś poziomą; geometrycznie – gdzież symetria? Niemniej, zgwiazdkowana nie zmienia się.

Stąd, lepiej zrezygnować z niedbałego stosowania nazwy „symetria” byle gdzie bądź, bo powoduje to zamieszanie. Zostawmy to fizykom. Hm... jakby tu nazwać tę macierz, która po sprzężeniu jest nią samą? Może samoprzężona? Albo, poszukajmy jakiegoś zapoznanego geniusza, bohatera, czy poetę, imieniem którego można by tę macierz nazwać, jak jaką stocznię czy szkołę podstawową ? Charles Hermite jest tym, któremu ten honor jest przyznawany – mamy więc, zamiast technicznego „macierz samosprzężona” –„macierz imienia Hermite’a”, lub w skrócie – „macierz hermitowska”. Wtedy jest rzecz - macierz – prawdziwie rzeczywista, gdy po odbiciu w lustrze – sprzężeniu – nic a nic się niezmienia.

I dlatego wprowadziliśmy S₂. Albowiem, obrót, acz jest przekształceniem całkiem normalnym, nie jest „rzeczywisty” – nie jest hermitowski. Dopiero we właściwej „swojej” przestrzeni – poza percepcją naszych dotychczasowych zmysłow – staje się kombinacją macierzy hermitowskich. W sensie ukazanym wyżej, jest przekształceniem zespolonym, zaś symetria „S₂” zmodyfikowana przez włożenie weń „i” jest jakby częścią - transformacją - urojoną. Mamy więc złączenie dwóch urojeń, choć – mam nadzieję – już wiemy, że to tylko głupie nazwy nadane całkiem konkretnym konkretom.

Fizycy ukuli celną nazwę (ale śmiesznie brzmiącą w języku polskim) dla przekształcenia hermitowskiego, czyli dostępnego percepcji naszych zmysłów. Ale to nowa bajka...