Wiemy, co to są zdarzenia. Opowiadamy o nich, opisujemy przeszłe, przewidujemy przyszłe, miewamy poczucie zagubienia w natłoku zdarzeń, czujemy nudę wobec ich braku. Sa proste, i są skomplikowane, momentalne i rozciągnięte w czasie, pojedyncze i seryjne, częste i rzadkie...
Czym więc są zdarzenia?
Teoria prawdopodobieństwa posługuje się „zdarzeniem” jako pojęciem podstawowym. Nie odpowiada na pytanie „czym są zdarzenia”, lecz je modeluje. Prosto... może zbyt prosto: zdarzenie to podzbiór wybranego zbioru ramowego, nazywanego szumnie przestrzenią zdarzeń - lecz nie byle zbiór, lecz należący do rodziny zdarzeń. Rodzina musi podlegać pewnym prawom logicznym, lecz zaledwie kilku, analogicznym do zasad interpunkcji w gramatyce.
Najprostszy przykład otrzymamy, gdy naszą przestrzeń rozbijemy na skończenie wiele rozłącznych zbiorów i z nich poprzez sumy mnogościowe utworzymy rodzinę zbiorów, odtąd – ale tylko względem tej przestrzeni - zwanych zdarzeniami.
Rozbicie na zbiory rozłączne – brzmi to wielce dramatycznie, jakby jaka szkoda sie stała, talerz upuszczony lub laptop rzucony o ścianę. Inaczej – partycja, co brzmi pięknie, zwłaszcza w wykonaniu Patrycji, patrycjuszki...
Partycji nawet niedużego zbioru jest mnogość niesłychana; oto 52 partycje zbioru o pięciu elementach (śliczny obrazek jest linkowany do wikipedii, skąd pochodzi):
O wyrysowanie partycji zbioru 20-elementowego nawet bym nie prosił, albowiem jest ich 51 724 158 235 372.
Na diagramie z 52 partycjami widzimy zaledwie 7 istotnie różnych partycji – utożsamiane partycje zaznaczone są tym samym kolorem. Na przykład, fiolet – trzy single i jedna para, zieleń – dwa single i jedna trójka, etc. 
W zasadzie jest to zadanie dla przedszkolaka – dajmy mu klocki i niech układa je w rzędy, takie jak na obrazku, tzw. diagramie Younga, gdzie 10 klocków tworzy 3 rzędy, 10 = 5+4+1.
Ile jest takich konfiguracji? Ano - 42, a dla 20 klocków - zaledwie 627.
Gdy obserwujemy pewną wielkość realną, jej wartości wyznaczają zdarzenia. Na przykład, stopnie z egzaminu w skali 1-6 dokonują partycji klasy uczniów na 6 rozłącznych zbiorów-zdarzeń. Gdy rzucamy kostką do gry – identycznie, choć historyjka jest inna.
Zaraz, zaraz – zawoła ktoś, przecież istnieje zasadnicza różnica, wyniki rzutu kostką są jednakowo prawdopodobne, zaś „szóstka” czy „trójka” na egzaminie – na ogół nie!
Lecz przecież nic nie mówiliśmy o prawdopodobienstwie danego zdarzenia, niechby „szóstki”! Lecz, skoro o tym mowa, to zauważmy, że prawdopodobieństwo zależy od stanu danego systemu. Jeżeli na ściankach kostki widnieją tylko szóstki – dlaczego nie? – to „szóstka” wypadnie z prawdopodobieństwem 1, zaś gdy na trzech ścianach mamy„szóstkę”, a na pozostałych „trójkę” – dlaczego nie? – to szanse na „szóstkę” są 50:50. Podobnie –z ocenami. Wypasione prestiżowe liceum może dać pewność wypadnięcia szóstki, zwłaszcza gdy słabszych uczniów zamknie się w ubikacji, a takie marne – pewność jedynki, lub dowolnie pomyślany rozkład szans.
Inaczej – prawdopodobieństwo określa stan systemu, ba! - jest stanem.
Trywialnym przykładem jest sytuacja, gdy wartość jest tylko jedna, np. gdy respondenci sondażu unisono odpowiadają, iż kochają tylko jednego polityka. Pierwszy nietrywialny przykład obejmuje już dwa rozłączne zdarzenia, dwie wartości. Nie będziemy zapędzać się w kuszące ilustracje polityczne, lecz raczej wybierzmy abstrakcję rzut monetą. Różnie się jej strony zwą, możemy je nazwać „3” i „4”, lub „0”i „1”, etc., i przyjąć je jako wartości, odpowiadające dwóm wykluczającym się zdarzeniom. Przy tym, nasz system - moneta – może się znajdować w nieskończonej liczbie możliwych stanów. Stan określony jest przez prawdopodobieństwo wypadnięcia wartości – wystarczy podać jedną liczbę z przedziału –[0,1], powiedzmy dla wartości mniejszej. Jeżeli jest to „p”, to prawdopodobieństwo wypadnięcia wartości większej wyniesie „1-p”. Tak więc, z powtórzeniem informacji, para (p,1-p) opisuje stan monety. Tak więc, (½, ½ ) – stan monety uczciwej, zaś (0.01, 0.99) – stan monety mocno, oj mocno obciążonej jednostronnie.
Nim przejdziemy do dalszej części, zauważmy jeszcze jeden aspekt zdarzeń. Spójrzmy raz jeszcze na powyższą partycję zbioru pięcioelementowego. Ostatni pięciokąt – cały zbiór jest jednym zdarzeniem, odpowiednia wielkość obserwowana byłaby stałą – powiedzmy, jedynką. Wtedy każde zdarzenie – czy czerwone, czy zielone powyżej, jest projekcją (rzutem) tego zdarzenia-matki, projekcją jedności-całości na część.
I teraz możemy dokonać bezbolesnego przejścia z (uproszczonego) klasycznego modelu teorii prawdopodobieństwa w jego (uproszczony) kwantowy odpowiednik. Te same role, inni aktorzy.
Uprzednio, naszymi aktorami (lub aktorkami) byli:
· przestrzeń zdarzeń Ω (ot, zwykły zbiór),
· zdarzenia E (ang., events, ot, zwykłe podzbiory),
· obserwowane zmienne X (ot, zwykłe funkcje, określone na Ω, różne wartości wyznaczają różne zdarzenia) – zwane zmiennymi losowymi,
· prawdopodobieństwa, czyli zmienne przyjmujące wartości między 0 i 1 na poszczególnych zdarzeniach, z 1 jako wartości całej przestrzeni Ω , przy tym addytywne – prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw zdarzeń jego partycji.
Przedstawmy nowych aktorów:
· Jako Ω – przestrzeń zespolona (na razie zadowolimy się przestrzenią skończenie wymiarową);
· jako zdarzenia – podprzestrzenie tej przestrzeni, lub równoważnie – projekcje na te podprzestrzenie, czyli macierze o wartościach własnych 0 lub 1; uprzednia rozłączność zdarzeń-podzbiorów zastąpiona jest teraz ortogonalnością zdarzeń-podprzestrzeni;
· jako zmienne obserwowane – macierze normalne, czyli posiadające wartości własnych wystarczająco, by macierze zapisać w postaci diagonalnej; zwiemy je obserwablami;
· jako prawdopodobieństwa – tak samo jak w klasycznym przypadku, zmienne „p” o wartościach między 0 i 1, p(Ω)=1, też addytywne, czyli p(E1 + E2 + ...)= p(E1) + p(E2)+ ... gdy zdarzenia są ortogonalne.
Zasiadamy wygodnie w fotelach, plik czystych kartek pod ręką, zastrugane dobrze ołówki, jakiś zimny lub gorący napitek - i niech spektakl się zaczyna, albowiem...
Алфавит уже мы знаем,
уже пишем и читаем
и все буквы по порядку
без ошибки называем.
