M10 – Bella, Bella Donna...

Jakie piękne nierówności, o pani!

Półtora roku temu przerwałem cykl notek [N] (ostatnia: M9 – stany i staniki), których celem miało być opisanie podstaw kwantowej teorii prawdopodobieństwa w sposób elementarny, dostępny nawet dla humanistów. Ot, nie stało czasu, głowy, chęci... Poza tym, elementarnie i dla humanistów - to oj, trudno, oj.

U Einego pojawił się niedawno rocznicowy wpis celebrujacy 50-lecie ukazania się sławnej pracy Johna Stewarta Bella - On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox [EPR]. Choć objętościowo nieduża, wywarła ta praca silny wpływ na rozwój mechaniki kwantowej – szczegóły u Einego. Ostrzegam - czytelnik musi pogodzić się z wizją walczących metafizyk, jakby zapaśniczek na ringu - wszak metafizyka jest rodzaju żeńskiego, nieprawda?

Której kibicować ma świadek nieszczęsny?

Dwie naraz kocha dziewczyny:
Ta czarna — snu wieczystego na pamięć barwnie się uczy,
Ta jasna — całun powiewny tka dla umarłej doliny.

Wizja, acz poruszająca, nie przemówiła do mnie, bo – primo – jej nie rozumiałem, czemu dałem wyraz w komentarzach, kwękając nad oznaczeniami i ich sensem. Eine tłumaczył szczodrze, ale im więcej tłumaczył, tym mniej rozumiałem, a jak wytłumaczył w końcu, to zdębiałem zupełnie.

I co widzowi pozostaje?

Którąż z nich kocha naprawdę?
Złe ścieżki! — Głębokie wody!
Urwiska! — Nawoływania! —
I znikąd żadnej pomocy!

Poszedłem za radą, której często i obficie udzielałem innym – weź jaką książczynę, poczytaj, postudiuj, zastanów się, naucz się, dowiedz. Takoż i udałem się do starego a wiernego Parthasarathy’ego [P], a on mi wyłożył kawa na ławę w czym rzecz. Ograniczając się do najprostszego przypadku systemów skończonych, przekażę, jak umiem...

Nie będę powtarzać podstaw; te w w/w cyklu [N] opisałem. Przypomnę tylko, że w kwantówce odpowiednikiem zmiennej losowej jest obserwabla, którą w przypadku skończenie wymiarowym można przedstawić jako macierz kwadratową X o elementach zespolonych. Co więcej, przy pewnym rozbiciu przestrzeni na podprzestrzenie ortogonalne E₁, ..., E_n, ową obserwablę można zapisać jako kombinację

$[;X=x_1\,E_1+x_2\,E_2+\cdots+x_n\,E_n;]$ (W)

z rzeczywistymi wartościami x₁, ..., x_n. W tym zapisie utożsamiamy podprzestrzeń z projekcją (rzutem) nań.

Oto skrócona taksonomia obserwabli względem ich wartości :

rzeczywiste                            -           obserwable;
nieujemne                               -           dodatnie obserwable;
nieujemne z sumą 1               -           rozkłady prawdopodobieństwa,
                                                           przemianowane na stany;
0-1                                        -           projekcje, zwane teraz zdarzeniami
z jedną 1 na E, dim(E)=1        -           zdarzenia elementarne
±1                                     -           symetrie, przemianowane na obserwable spinu

Ot, taka ciekawostka – projekcja na przestrzeń jednowymiarową jest zarazem stanem (rozkładem prawdopodobieństwa), i zwana jest stanem czystym („pure state”).

Wartości danej obserwabli sa zazwyczaj ukryte przed okiem obserwatora, i ów musi się trochę namęczyć, by dojść do przedstawienia (W), zwanego też przedstawieniem spektralnym. Nie musi wszak niczego nowego wymyślać, bo algorytm jest dobrze znany. Jest to procedura diagonalizacji. Obserwabla – to macierz samosprzężona, inaczej – macierz hermitowska, czyli X^*=X.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E oblicza się poprzez ślad iloczynu stanu P i projekcji E:

$[;{\Bbb P}_P(E)={\rm tr}\, PE.;]$ (P)

Gdy obie macierze zapisane są przy pomocy (W), opartej na wspólnym rozbiciu, wtedy powyższa formuła pokrywa się z klasycznym wzorem na prawdopodobieństwo zdarzenia

$[;{\Bbb P}_P(E)=x_1\,p_1+x_2\,p_2+\cdots+x_n\,p_n;]$

Zauważmy, że owe iksy – to albo zera, albo jedynki, więc w skład sumy wchodzą tylko wartości prawdopodobieństw odpowiadające aktualnym zdarzeniom elementarnych (1 – jest, 0 - nie ma). Zwracam uwagę na to, że termin „prawdopodobieństwo” występuje tu w trzech rolach:

Pierwsza rola – to ciąg (rozkład), może być taki lub owaki, byle by jego elementy były nieujemne i w sumie dawały 1.

Druga rola – to wartość liczbowa po prawej stronie wzoru, czyli jedna liczba między 0 a 1, odpowiadajaca jednemu zdarzeniu.

Trzecia rola – to reguła, podkreślona użyciem specjalnej czcionki, która określa specyficzny sposób obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia. Jak widać, różne wartości powstają przy różnych rozkładach prawdopodobieństwach. Jest to zatem funkcja prawdopodobieństwa, której argumentami są nie tylko zdarzenia, ale i rozkłady prawdopodobieństwa.

Tradycyjnie, potocznie i w skrócie, nieco niedbale – mówimy po prostu „prawdopodobieństwo”, mieszając te trzy role. Nieodzownie wcześniej czy później pojawi się nieporozumienie i konfuzja.

Wartość oczekiwana lub ekspektancja (zwana też średnią) wyrażona jest analogicznie do formuły (P):

$[;{\Bbb E}_P(X)={\rm tr}\, PX.;]$ (EX)

Podobnie otrzymujemy momenty i funkcje charakterystyczne:

$[;{\Bbb E}_P (X^k), \quad {\Bbb E}_P(e^{itX}),;]$ .

i także kowariancję według klasycznego wzoru

$[;{\Bbb C}ov_P (X,Y)= {\Bbb E}_P(XY)- {\Bbb E}_P(X)\cdot {\Bbb E}_P(Y);]$ ,

Dla prostoty zakładamy poniżej, iż wszystkie rozważane zmienne losowe lub obserwable mają ekspektancję zero. Uprośćmy też oznaczenia, bo te fikuśne czcionki kłują w oko, więc niech będą zwykłe E X, zwykłe Cov (X), etc.

Macierz kowariancji dwóch zmiennych losowych (lub obserwabli) X i Y o średniej zero ma kształt

$[;C=\left[\begin{array}{cc} a & b\\ b& c\end{array} \right] ;]$

gdzie a=E X², b=E XY, c=E Y²_. Zatem, by C była macierzą kowariancji, potrzeba i wystarcza by

$[;a\ge 0, \, c\ge 0, \, b^2\le ac;]$ .

Widzimy trzy stopnie swobody - trzy zmienne a, b, c związane jedynie powyższą nierównością.

Macierz trzech oberwabli (lub zmiennych losowych) jest symetryczna, i ma 6 stopni swobody, trzy zmienne nieujemne na przekątnej, trzy ponad przekątną i ich odbicie symetryczne poniżej przekątnej. Warunków ograniczajacych jest daleko więcej. Zredukujmy więc liczbę stopni swobody, normując nasze obserwable (zmienne losowe) tak, by ich wariancje były jednostkowe. Zostają trzy stopnie swobody:

$[;C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & p & q\\ p& 1 & r\\ q & r & 1\end{array} \right] ;]$ ,,

C jest macierzą kowariancji w przypadku klasycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą dodatnią, tzn. posiada nieujemne wartości (własne).

Zadanko 1 (dość trudne, ale niżej będzie łatwiejsze). C jest macierzą kowariancji wtedy i tylko wtedy, gdy

$[;(1) \quad|p|\le 1,\, |q|\le 1,\,|r|\le 1,\qquad (2)\quad 1+2pqr\ge p^2+q^2+r^2;]$ . (C)

Powyższe nierówności można zinterpretować geometrycznie, ponieważ opisują one pewną bryłę w trójwymiarowej przestrzeni pqr. Ba! Można je uprościć, ograniczajac się jedynie do dwóch zmiennych, powiedzmy kładąc q=-p. Odpowiada to przecięciu powyższej bryły płaszczyzną p+q=0, i zrzutowaniu przecięcia na płaszczyznę pr. Wtedy ograniczenie (2) w warunku (C) przybiera postać

$[;(1+r)(1-r-2p^2)=1-2p^2r- 2p^2-r^2\ge 0;]$ ,

czyli

$[;r\le 1-2p^2;]$ ,

Nierówność opisuje część kwadratu o wierzchołkach (±1, ±1) pod parabolą o wierzchołku w (0,1), i ramionach opadajacych do dolnych punktów kwadratu (-1,-1) i (1, -1). Proszę sobie naszkicować ten dozwolony obszar dla macierzy kowariancji C z jedynkami na przekątnej oraz q=-p i r.

I oto pojawia się drastyczna różnica między probabilistyką klasyczną a kwantową: macierz kwantowej kowariancji nie musi być dodatnio określona! Wystarczy podać przykład. W tym celu rozważamy dwuwymiarową przestrzeń zespoloną, więc obserwablami są zespolone samosprzężone macierze 2x2. Rozważmy kombinacje macierzy Pauliego. Niech X odpowiada jednostkowemu 3-wektorowi x

$[;X=x_1\,\sigma_1+x_2\,\sigma_2+x_3\,\sigma_3 ;]$ ,

podobnie niech Y odpowiada jednostkowemu 3-wektorowi y, i Z – jednostkowemu 3-wektorowi z. Jako stan, czyli rozkład prawdopodobieństwa, wybieramy

$[;P=\frac{1}{2}\,I=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array} \right] ;]$

Wtedy X, Y, Z mają średnie zerowe, zaś ich kowariancje - to iloczyny skalarne 3-wektorów.np.

$[;{\Bbb C}ov(X,Y)=\mathbf {x}\cdot \mathbf{ y}=x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3=\cos \alpha;]$ ,

gdzie α jest kątem między 3-wektorami x i y. Stąd, dla dowolnych liczb rzeczywistych p, q, r między -1 i 1, możemy znaleźć 3-wektory x, y, z, które określają obserwable X, Y, o macierzy kowariancji C, powyżej. Istotnie, jest to zadanko proste i czysto geometryczne, polegające na konstrukcji trzech 3-wektorów przy zadanych kątach α, β, γ między nimi.

Warto zauważyć, że obserwable spinu X, Y, Z przyjmują jedynie wartości ±1.

Innymi słowy, kwantowa kowariancja wymaga jedynie ograniczenia (1) w warunku (C), zaś (2) – niekoniecznie.

No dobrze, ale to takie sobie teoretyczne gadanie – nie wymaga, i co z tego?

Ano, to z tego, że owe ograniczenie (2) służy jako test decydujący o tym, czy klasyczna probabilistyka może służyć do opisania zjawisk kwantowych, czy raczej pewnych zjawisk NIE MOŻNA OPISAĆ, czyli wyjaśnić, z jej pomocą. Wystarczy zaprojektować eksperyment, by na jego podstawie obliczyć empiryczne kowariancje, powiedzmy – trzech obserwabli. Jeżeli owe kowariancje wypadną poza obszar opisany przez nierówność (2) w ograniczeniu (C), będzie to znaczyć, że obserwable nie są zmiennymi losowymi. Inaczej, nie istnieje przestrzeń probabilistyczna, na której dałoby się określić funkcje (tymi są właśnie zmienne losowe) zależne od pewnego parametru λ (z nadzieją zwanym przez fizyków parametrem ukrytym, „hidden variable”), modelujące owe kwantowe wielkości.

Test, oparty na nierówności (2) ma jedną wadę – jest zbyt skomplikowany. Testy powinny być proste, oparte na prostych rozumowaniach i prostych warunkach rozstrzygających. I tu wkracza na arenę John Stewart Bell, przynosząc w darze test prościutki, jednak spełniajacy swoją rolę dyskryminacyjną. Skoro mamy do czynienia z obserwablami o wartościach ograniczonych przez -1 i 1, to może odpowiadajaca im macierz kowariancji spełniałaby jakieś proste, łatwo rozstrzygalne kryterium?

Zadanko 2 (bardzo łatwe). Jeżeli zmienne losowe X, Y, Z o średniej 0 są ograniczone przez -1 i 1, to

$[;1-cov(XY)\ge |cov(XZ)-cov(YZ)|\\,\quad\mbox{czyli}\quad 1-E (XY)\ge |E(XZ)-E(YZ)|;]$

Jest to ta właśnie słynna nierówność Bella. Prawda że prosta i piękna (co wyjaśnia tytuł notki)?

W naszym przypadku

$[;1-r\ge |p-q|,\quad 1-p\ge |q-r|,\quad 1-q\ge |p-r|;]$

W szczególności, przy uproszczeniu q=-p:

$[;r\le 1-|2p|,\quad |r|\le 1;]$

Nierówności opisują wnętrze trójkąta o wierzchołkach (-1,-1), (0,1), (1, -1) – proszę nanieść na uprzednio wykonany szkic paraboli - niewielka różnica, prawda? Taka, jak by parabolę wysłac na dietę odchudzajacą...

Jeszcze raz: gdy empiryczne wartości kowariancji p, q=-p, r, otrzymane dla obserwabli o średnich zero, o wartościach ±1, wypadną poza trójkąt, to klasyczna teoria prawdopodobieństwa się nie stosuje. Czy to znaczy, że kwantowa teoria, oparta na macierzach, śladach, wartościach własnych, itp. się stosuje? Nie, takiej konkluzji nie ma – jedynie to, że wynik jest zgodny z teorią kwantową, nie przeczy jej.

Taką właściwość mają wszystkie testy – służą odrzucaniu, falsyfikacji, zaś „zdanie testu” nie oznacza jeszcze potwierdzenia tezy, jedynie brak podstaw do odrzucenia. Ale to dużo, bo wtedy wciąż warto zajmować się tą nieodrzuconą alternatywą – tu: kwantową teorią prawdopodobieństwa.

Zatem, póki sie nie zawali – bawmy się z nią! Bawmy się z obiema metafizykami, bo obie piękne i chętne, wzajem wcale niezazdrosne, zaś uzupełniając się - ani tycio siebie nie zwalczają . Te drzazgi lecące - to nie one, to ich zapalczywi fani okładają się sztachetami...

[EPR] J.S. Bell, On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox,(listopad 1964).

[P] K.R. Parthasarathy, An Introduction to Quantum Stochastic Calculus, Birkhäuser 2012 , pp. 10-16.

[N] Wpisy poprzednie jako uzupełnienie niniejszego:

M9 – stany i staniki

M8 zdarzenia-nudzenia

M7 - zdarzenia i stany

M6 - bazy liszki

M5 – gdzie naprawdę obroty się obracają?

M4 – wespół zespół

M3 – pi oraz e, czym się to je?

M2 – mnożynki

M1 - matrysie