M6 - bazy liszki

Dziś rzecz będzie o bazach, nie lisich, ale bazach przestrzeni wektorowej. Przestrzeń wektorowa składa się z wektorów, zaś dziś dla nas wektory – to ciągi skalarów, zaś skalary – to liczby rzeczywiste lub zespolone. Wektor, dzielący swą etymologię z wehikułem - to ten, co coś niesie... powiedzmy, choć jakąś informację... Wektory się dodają, tworząc w wyniku nowe wektory (u zwierząt, w tym ludzi, ta sztuczka zwana jest mnożeniem). Skalar skaluje wektor, zaś nazwa skalara wywodzi się od drabiny.

 

Skończona garść wektorów i skalarów je skalujących po dodaniu tworzy kombinację liniową. Wektory w takiej garści nazywamy liniowo zależnymi, gdy jeden z nich wyraża się jako kombinacja liniowa pozostałych. A jak się żaden nie wyraża, zwiemy je liniowo niezależnymi. Żaden zbiór wektorów liniowo niezależnych nie zawiera wektora zerowego. Zbiór złożony z pojedynczego wektora? Cóż, nie wyraża się przez inne, bo innych nie ma, więc jest liniowo niezależnym (nie pytajmy od czego).

 

Zbierając wszystkie skończone kombinacje liniowe danej garści wektorów liniowo niezależnych, tworzymy podprzestrzeń liniową. Mówimy obrazowo, że te wektory rozpinają podprzestrzeń i nazywamy tę wyjściową garść bazą podprzestrzeni. Podprzestrzeń jest przestrzenią liniową samą w sobie, a może być całą przestrzenią-matką, zaś baz jest mrowie a mrowie. Mają jedną cechę wspólną, jakie by nie były – liczą tyle samo elementów. Stąd, ten niezmiennik, tę liczność nazywamy wymiarem liniowym.

 

Wcześniej czy później znudzi się nam dodawanie przymiotnika „liniowy”, i na ten moment będą czyhać rzesze użytkowników, by mieszać i kręcić, prawiąc zajmująco o piątych lub dziesiątych wymiarach, oczywiście piąte przez dziesiąte. Nie ma na to lekarstwa, prócz upicia się.

 

Czym jest przestrzeń, rozpięta przez jeden wektor niezerowy? To zależy – gdy ograniczamy się do skalarów rzeczywistych, widzimy ją jako linię prostą, ale gdy skalary są zespolone – będzie to płaszczyzna. Tam odcinek jest kołem - czemu u nas zabroniono nazywać ów interwałem tak, jak na całym świecie nazywają, tylko u nas jakoś po krawiecku? Podobnie, dwa wektory niezależne przez skalary rzeczywiste rozpinają płaszczyznę, zaś dopuszczając skalary zespolone... hm, coś poza naszą percepcją wzrokową, albowiem jako przestrzeni rzeczywistej jej wymiar liniowy wynosi 4.

 

Tyle tych baz... Którą wybrać?

 

Najprostsza baza składa sie z wektorów-ciągów, które mają jedną jedyną jedynkę, reszta elementów to zera. Gdy ciągi mają długość n, to jest ich n, i n jest wymiarem rozpiętej przestrzeni. Oznaczmy je literkami „e” - e₁, e₂, ..., e_n – na cześć Euklidesa, i nazwijmy tę bazę standardową. Zapisujemy je pionowo: np.e₁ = (1; 0; ...; 0) (przypominam, że średniki odcinają wiersze – tu każdy wiersz ma dokładnie jeden element – ach, co to za wiersz!). Składając nasze wektory-kolumny razem, otrzymujemy macierz jednostkową I (identyczność), z jedynkami na przekątnej, zera poza nią. Podobnie, mając dowolną bazę v₁, ..., v_n kolumn-wektorów, tworzymy z niej macierz, której V jest naturalnym oznaczeniem. Jednocześnie możemy patrzeć na macierz V jako na liniowe przekształcenie przestrzeni n-wymiarowej, które przekształca k-ty wektor standardowy e_kw wektor v_k, k =1, ..., n.

 

Miejmy nadzieję, że to potrójne widzenie – jedna litera i trzy znaczenia - nie zaburzy naszej orientacji. Przy okazji, w duchu tej konwencji, macierz jednostkowa I może być oznaczana przez E, ze względu na miana jej wektorów-kolumn.

 

Nie, jednak to trzecie widzenie jest felerne, bo miesza. Jak przekształcenie przekształca, to przekształca – zaś V jest tylko zapisem – jakby bardem lub reporterem, odnośnikiem do danej bazy.... Hm... może po prostu L_EE – liniowa transformacja wychodząca z bazy E, i kończąca się zapisem w bazie E? No, niech będzie... „L” – bo liniowa, i też na cześć naszej liszki... Podobnie, V – gdyż po łacinie liszka to Vulpes.

 

Gdy jakiś wektor w wyraża się jako liniowa kombinacja V, wtedy zapis w odniesieniu do bazy standardowej jest bardzo prosty. Na przykład, niech v₁ = (1;-1), v₂=(2,3), zaś w = 4v₁-v₂.

 

 

Ów indeks dolny „V” przy zapisie wektora w zaznacza układ odniesienia, którym jest baza V. Gdy układem odniesienia jest E, podobnie możemy użyć dolnego indeksu „E”, lub wręcz nie musimy nic zaznaczać – po to właśnie jest standard. Więc jak wygląda wektor w_V zapisany w bazie standardowej E, tzn. w_E?

 

 

Zatem, po prostu mnożymy wektor w_V – ze współrzędnymi w bazie V - przez macierz V:

 

 

Zapiszmy to jeszcze inaczej, przy pomocy „znaku drogowego”, i przeczytajmy: „przechodzimy z bazy V do standardowej bazy E, mnożąc wektor współrzędnych w bazie V przez macierz V”

 

 

Prawda, że co znak – to znak: łatwo widzieć, trudno powiedzieć?! Co więcej, stąd – to już z górki. Jak przechodzimy z bazy standardowej do dowolnej bazy V? No, na odwrót:

 

 

Drobny szkopuł – jak znaleźć macierz odwrotną V^-1 ? I – jeszcze – szybko znaleźć? Dla macierzy 2×2 jest to proste:

Odwrotność macierzy o większym wymiarze nie tyle trudniej, co żmudniej znaleźć. Nie ma prostego wzoru, jak w przypadku 2×2, jest li tylko procedura, algorytm (produkt uboczny redukcji Gaussa-Jordana).

 

Jest jednak rodzaj macierzy, dla których odwrotność – to pestka. Są to macierze, czy to rzeczywiste, czy zespolone, których kolumny są ortogonalnymi do siebie wektorami jednostkowymi. Zwą się macierzami unitarnymi, niektórzy wręcz traktują je jak dygnitarzy, tytułując je unitarzami. Niestety, w polskim takiego słowa nie ma, a szkoda. Hm... może unitariuszka brzmiałoby ladniej, wszak macierze są rodzaju żeńskiego... Tak, zdecydowanie ładniej - więc jak już wprowadzać nowe słowo, to niech bedzie zgrabne i wdzięczne.

 

Innymi słowy, macierz U jest unitariuszką, gdy jej sprzężenie (transpozycja + sprzężenie zespolone) jest macierzą odwrotną!

 

 

Nie ma nic prostszego na tym świecie, niż transponować i sprzęgać! Unitariuszki – morowe dziewuszki!

 

Wróćmy teraz do naszej transformacji liniowej L („el” - bo liniowej,i na cześć liszki). Brak indeksów dolnych oznacza, iż jaka ona jest, taka jest – czysto fizyczna. Może to być obrót, symetria, projekcja, nożyce – lub złożenie owych. Indeks, np. L_EE - oznacza jej zapis macierzowy w bazie E, L_VV – zapis macierzowy w bazie V, etc. Zapiszemy te zapisy w postaci diagramu (podobnego do znaków drogowych, lub ikonek na lotnisku np. wskazujących drogę do ubikacji), przy tym zaznaczamy zmiany baz:

Innymi słowy (pamiętając, że porządek operacji jest z prawa w lewo):

 

 

Gdy baza złożona jest z jednostkowych wektorów ortogonalnych, czyli gdy V jest unitariuszką  – jeszcze lepiej! A gdy macierz Λ=L_VV jest macierzą diagonalną, na jej przekątnej (diagonalii) pojawiają się wartości własne (dlatego zmieniamy jej imię na Lambdę), zaś V składa się z kolumn-wektorów własnych – to już mega super. Wtedy nasza macierz X=L_EE (bo coś, jakieś tam enigmatyczne przekształcenie, nazywamy po prostu Iksem)  odkrywa swe wartości:

 

 

Formuła ta dzieli świat macierzy (lub przekształceń liniowych) na dwie rozłączne kategorie. Do pierwszej należą „normalne” macierze, które posiadają wystarczająco wiele wektorów własnych, by stworzyły, po przeskalowaniu ich do wektorów jednostkowych – tzw. unormowaniu,  bazę ortogonalną, która zapisana jest przy pomocy unitariuszki V. Do drugiej – pozostałe.  Ponieważ normalność związana jest z ortogonalnością (patrz: Dygresja w poprzedniej notce), te pierwsze macierze po prostu zwiemy normalnymi. Te drugie – jak kto chce – fuj-macierze, felerne, zdefektowane, nienormalne, chłam, dziadostwo, czerń (za Sienkiewieczem), etc.

 

Procedura prokurowania wartości na przekątnej zwie się z łacińska diagonalizacją, celnie acz nieprzyjemnie, bo brzmi toto jak zabieg medyczny, na który w dodatku trzeba czekać w kolejce wiele miesięcy.  Ale „uprzekątniowienie” brzmi jeszcze gorzej – mnie się kojarzy ze zrównaniem chłopa z ziemią albo z obcinaniem emerytur....

 

Ad rem - zarazem, formuła ta stanowi bramkę do kwantowego rachunku prawdopodobieństwa. Albowiem - na czym polega obserwacja? Na odnotowaniu szeregu wartości, z których niektóre mogą się powtarzać. Zamiast zapisywać je w ciągu: (λ₁, λ₂,...), zapisujemy je na przekątnej macierzy, powtarzając ile razy trzeba – tak, by wypełniły przekątną.

 

Tak, jak obserwowane wartości mogą się różnić kolejnością, lecz te różnice są nieistotne, tak i zależność macierzy od bazy jest nieistotna, i powyższa diagonalizująca (uff!) formuła jest odpowiednikiem permutacji wartości, zapisywanych dotychczas w linijce.

 

Stąd, normalna macierz (przekształcenie liniowe) X – to wielkość obserwowana, inaczej -  zmienna, zaś jej wartości (już nawet nie mówimy „własne”, bo przecież cudzych wartości nic ani nikt nie ma) zostają odkryte poprzez powyższy diagram. W skrócie, po angielsku X – to observable, po spolszczeniu – obserwabla. Nawet się rymuje, np. z „szabla” i „kabla”, i chyba z niczym więcej. Może Czytelnik o odchyleniu poetycznym jakiś krótki okolicznościowy wiersz rymowany zechciałby napisać?

 

Wartości macierzy normalnej mogą być zespolone – na przykład, wartości obrotu. Są rzeczywiste wtedy, i tylko wtedy, gdy macierz X jest samosprzężona, X=X* czyli im. Hermite’a, czyli potocznie – hermitowska. Innymi słowy, macierze hermitowskie to w istocie zmienne rzeczywiste, zaś macierze normalne – to zmienne możliwie zespolone.

 

Na tym kończymy dziś, choć to dopiero początek...