M9 – stany i staniki

Pozostajemy przy klasycznej idei, prawdopodobieństwo to funkcja E → p(E) o wartościach z przedziału [0,1], określana na zdarzeniach, taka że

$[; p(I)=1,\quad p(E_1+E_2+\cdots+)=p(E_1)+p(E_2)+\cdots, \quad \mbox{ gdy }E_iE_j=0.;]$

By podać przykład, potrzebujemy pojęcia śladu (trace) macierzy – jest to suma wartości własnych. Dowodzi się, że zgodna ona jest z sumą wzdłuż przekątnej macierzy, niezależnie od bazy. Ot, popatrzmy na ślad macierzy diagonalnej X wpoprzedniej notce, i na ślad macierzy X′ - tej samej, tylko przedstawionej w innej bazie. Ślad tr(X) = tr(X′) = -12.

Gdybyśmy odeszli od skończonego wymiaru, nie każde przekształcenie (liniowe, ciągłe – zwane również operatorem) posiadałoby sumowalne wartości własne. Te, które mają ślad skończony, często nazywa się operatorami Schattena, dla uczczenia polskiego matematyka pochodzenia żydowskiego, który uniknął Holocaustu, emigrując przed wojną do Stanów.

Skończony ślad jest własnością idealną, tzn. zachowuje się przy złożeniach. Innymi słowy, gdy przekształcenie T ma ślad skończony, to dla dowolnego przekształcenia (liniowego, ciągłego) X, zarówno TX jaki XT bedą również miały ślad skończony. Dzięki temu, operatory Schattena tworzą dualność, to znaczy określają rodzaj iloczynu skalarnego wzorem

$[; \langle T, X\langle = {\rm tr}\,TX;]$

Jedno z twierdzeń Schattena mówi, iż operatory Schattena są w istocie funkcjonałami na przestrzeni operatorów zwartych (tzn. o wartościach własnych zbiegających do 0) w przestrzeni Hilberta.

Wróćmy jednak do naszego uproszczonego wszechświata skończenie wymiarowego. Niech P będzie macierzą o wartościach nieujemnych i śladzie jednostkowym. Wystarczy rozłożyć jedynkę na składniki wzdłuż przekątnej, oznaczając ową diagonalną macierz przez D, następnie wybrać dowolna macierz unitarną U, i położyć P=UDU*. Zdarzeniu E przyporządkujemy liczbę

$[;p(E)={\rm tr}\, PE;]$

Nietrudno sprawdzić, iż spełnia ona powyższe aksjomaty prawdopodobieństwa, p(I)=1, i p(.) jest funkcją addytywną - prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych równa się sumie prawdopodobieństw zdarzeń składowych.

Czy są inne przykłady? Gdy wymiar przestrzeni jest co najmniej 3 – nie ma! Jest to słynne twierdzenie Gleasona. Dowód jest raczej długi i mocno nietrywialny, gdyby dowodzić je metodami w miarę elementarnymi. Jest też dość szybkim wnioskiem ze wspomnianego twierdzenia Schattena, jednak konieczność zapoznania się z analizą fukncjonalną i teorią operatorów spowolniłoby nas okrutnie, gdybyśmy się upierali przy rozumieniu tej prostoty wniosku.

W nomenklaturze fizycznej, ta macierz P zwie się stanem, choć wielu woli ją nazywać gęstością prawdopodobieństwa, i również wielu mówi po prostu o prawdopodobieństwie, świadomie czy nieświadomie mieszając dwa obiekty – macierz samą, i funkcję, którą ona generuje poprzez użycie śladu.

Przyjmijmy więc...

I też – zilustrujmy. Najprostszym przykładem stanu (prawdopodobieństwa) jest stan czysty. Pojedynczy jednostkowy wektor q generuje macierz P=qq*=[q_jq_k*] o wartościach własnych, będącymi kwadratami modułów współrzędnych wektora u. Kwadraty sumują się do jedynki, albowiem właśnie dlatego wybraliśmy wektor jednostkowy:

$[; {\rm tr}\,P=||q||^2=|q_1|^2+|q_2|^2+\cdots|q_n|^2=1.;]$

Znowuż, z lekka nadużywając języka, będziemy ów wektor wręcz nazywać stanem czystym (zamiast – jak przystoi – macierz P przezeń generowaną, ach, też nie tak – funkcję prawdopodobieństwa, utworzonę przez P dzięki śladowi). Zauważamy, że wektor u, generujący prawdopodobieństwo (dokładniej – macierz P) nie musi mieć współrzędnych dodatnich, ba – nawet rzeczywistych! Niemniej macierz P ma na przekątnej klasyczny rozkład prawdopodobieństwa – rozbicie jedynki na składniki nieujemne.

Policzmy prawdopodobieństwo najprostszego znormalizowanego zdarzenia-wektora e (wiemy, wiemy - tak naprawdę zdarzeniem jest projekcja E=ee*):

$[;p(E)={\rm tr}\, PE ={\rm tr}\, qq^*ee^* ={\rm tr}\, q(q^*e)e^* = (q^*e)\,{\rm tr}\,qe^*,;]$

gdzie „przed ślad” wyciągnęliśmy skalar (q*e), który jest w istocie iloczynem skalarnym wektorów q i e (dla przypomnienia – notki „M1 – matrysie” i „M2 – mnożynki”), czesto zapisywanym w postaci nawiasowej, q*e=<q,e>.

Kończąc rachunek,

$[;p(E)=\left| \langle q,e\rangle\right|^2. ;]$

Stąd, dla wielowymiarowego zdarzenia, E=e₁+e₂+... o składnikach ortonormalnych

$[;p(E)=\sum_k\left| \langle q,e_k\rangle\right|^2. ;]$

co można interpretować geometrycznie jako kwadrat długości rzutu wektora u na podprzestrzeń E. Z kolei, na kwadrat długości wektora można patrzeć mechanicznie, jako moment bezwładności (z dokładnością do stałej) masy jednostkowej względem środka układu współrzędnych, lub fizycznie – jako energię kinetyczną masy jednostkowej wirujacej wokół pewnej osi przechodzącej przez środek układu. Kwadrat jest addytywny (twierdzenie Pitagorasa), takoż i moment bezwładności, i energia – stąd interpretacja prawdopodobienstwa jako rozkładu jednostkowej energii na komponenty bazowe.

Pozostając przy zdarzeniu jednowywymiarowym e, lecz zamiast stanu czystego biorąc pod lupę dowolną macierz P gęstości prawdopdobieństwa, zapisujemy prawdopodobieństwo zdarzenia e:

$[;p(E)={\rm tr}\, Pee^*=\la e^*Pe\ra=\sum_i\sum_j p_{ij}\,e_i\,\overline{e_j};]$

jako formę kwadratową – dla przestrzeni dwuwymiarowej można ją odbierać jako paraboloidę obrotową o eliptycznych przekrojach. Tzn.,”obrót” jest eliptyczny, jak Ziemi wokół Słońca.

Sprowadźmy formę kwadratową do postaci kanonicznej, czyli wybierzmy osie elips jako osie układu współrzędnych. Po ludzku –zdiagonalizujmy macierz gęstości. Innymi słowy, przedstawiamy ją w formie P=UDU*, gdzie U jest macierzą unitarną, której kolumny są wektorami własnymi P, zaś D jest macierzą diagonalną - na przekątnej pojawia się klasyczne prawdopodobieństwo (p_k), czyli ciąg nieujemnych liczb, sumujących się do 1. Uprzednio, dla stanu czystego P=qq*, mieliśmy p_k=|q_k|². Polóżmy też v=U*e:

$[;p(E) = {\rm tr}\, UDU^*\,ee^*={\rm tr}\, D vv^*=\langle v,Dv\rangle=\sum_k |v_k|^2\,p_k;]$

Coż to jest za dziwo? Ano, to dyskretna wersja tzw. „funkcji falowej ψ”

A jak się toto ma do poprzedniej intepretacji – rozkładu energii, niesionej przez wektor prawdopodobieństwa q, względem zdarzenia E? Przypomnijmy: w pierwszym przykładzie P=qq*. Biorąc macierz diagonalną Q z q na przekątnej, P=QQ*. Przyjmijmy zapis Q=P^1/2, nieco źle zdefiniowany, ponieważ rozwiązanie równania P=QQ* nie jest jednoznaczne, podobnie jak rozwiązanie równania 1=x². Ale, jak pracuje, to nie szkodzi.

Na tej samej zasadzie definiujemy Q=P^1/2=UD^1/2U*, tzn. P=QQ*=Q*Q (tak właśnie toto pracuje, bez względu na wybór pierwiastków z p_k – elementów przekątnej D). Więc, jeszcze raz, dla czystego stanu E=ee*

$[;p(E) = {\rm tr}\, P\,E={\rm tr}\, QQ^*ee^*=\langle Q^*e,Q^*e\rangle=||Q^*e||^2=||P^{1/2}e||^2.;]$

Dla ogólnego stanu E=e₁+e₂+... o czystych składnikach ortonormalnych, rzutujemy – już nie wektor q, niosący prawdopodobieństwo, ale niosącą je - macierz-wektor Q=P^1/2, na zdarzenie E:

$[;p(E)=\sum_k ||P^{1/2}e_k||^2.;]$

Niewątpliwie można się zagubić w tym przedstawieniu macierzowym, choć jest to danie bezlitośnie proste, niczym prosta kromka chleba, podana nawet bez masła czy smalcu. Tym bardziej się gubimy, im więcej interpretacji nakładamy na tę kromkę, im wiecej masła, smalcu, dodatków. Ech, smalec z gęsiarki...

O stanach było, ale gdzie staniki? No właśnie, fizycy uwielbiają mąt i mgłę, i zawsze im mało, albowiem – im mętniej i mgliściej, tym mądrzej. Dlatego też, zamiast tej standardowej notacji – wektor/iloczyn skalarny/mnożenie/sprzężenie – wprowadzili swój własny idiosynkratyczny formalizm. Popatrzmy na formułę, definiującą iloczyn skalarny, i wstawmy kreskę zamiast przecinka

$[;\langle u|v\rangle =\langle u,v\rangle =u^*v;]$

W oczach fizyka nawias i wektor to jedna rzecz. Stąd, pisze on

$[;u^*=\langle u|,\quad v=|v\rangle;]$

No, składając z powrotem, fizyk dostaje dwie kreski, ale czemu się przejmować:

$[;u^*v=\langle u || v\rangle?;]$

Nawet i dobrze, bo dla formy kwadratowej, utworzonej przez macierz A, para kresek – jak znalazł:

$[;u^*Av=\langle u|A|v\rangle;]$

Ponieważ po angielsku „nawias” to „bracket”, wymawiane „bra-ket”, więc <u| - to „bra”, zaś |v> - to „ket”. No, to mamy i stanik, bo to właśnie znaczy „bra”. Stąd, projekcja

$[; ee^*=|e\rangle\langle e| ;]$

powinna być wymawiana „ket-bra”, ale nie słyszałem, by jakikolwiek fizyk takiego słowa używał, choć aż się prosi. Po co i kto te „staniki” wprowadził, jako nowinkę na przekór istniejącemu, standardowemu, dobrze znanemu zapisowi – bij-zabij, nie wiem. Paul Dirac ten żart wymyślił, i ponieważ był geniuszem i celebrytą, co nie zawsze idzie w parze – alu tu szło, więc lud fizyczny z nabożeństwem i na poważnie podchwycił szutkę, i szlus. Jak kto lubi, i musi ozdobnie – może znaleźć wiele samouczków - nawet w wikipedii nauczają...