W poprzednim odcinku mowa była o zdarzeniach i prawdopodobieństwach. W klasycznym podejściu, zdarzenia – to podzbiory ustalonego zbioru, tworzące rodzinę zdarzeń, zamkniętą na podstawowe operacje logiczne, takie jak zaprzeczenie, alternatywę, i koniunkcję. Taka rodzina zwie się ciałem zdarzeń, a gdy dopuszczone są nieskończone lecz przeliczalne operacje logiczne – sigma-ciałem. Dla skończonego zbioru, podstawowe zdarzenia tworzą partycję – rozbicie zbioru na części rozłączne. Prawdopodobieństwo – jedynka rozbija się na składniki, przypisane poszczególnym elementom partycji. Widzimy analogię z układem fizycznym – znormalizowana masa rozkładana jest na części.
Rozszerzenie klasycznego modelu wymaga nowego języka, lub znalezienia starego, który by pozwalał na skrótowy zapis, na formalizm, na ścisłą argumentację, na usunięcie mgły nieodzownie kłębiącej się w czysto „humanistycznych” wypowiedziach (i nieobcej ściślakom).
Tym językiem staje się język macierzy – ale to na początek. Macierze mogą być interpretowane jako przekształcenia liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni, zwanej euklidesową. A stąd tylko krok do następnego rozszerzenia – do nieskończenie wymiarowego odpowiednika – do przestrzeni Hilberta i liniowych ciągłych przekształceń na niej. Ale o tym później (lub wcale) – jedno rozszerzenie na raz, bo i tak nie jest łatwe do przełknięcia.
Zostańmy zatem przy skończonych systemach. Oto mamy zbiór zdarzeń elementarnych Ω, i obserwaną wielkość X - ciąg wartości, możliwie powtarzanych, przyjmowanych dla zdarzeń E1, E2,...
![[;\Omega=\{1,...,n\},\qquad X=(x_1,\dots,x_n);]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\Omega=\{1,...,n\},\qquad X=(x_1,\dots,x_n) "\Omega=\set{1,...,n},\qquad X=(x_1,\dots,x_n)")
Innymi słowy, posługując się funkcją zero-jedynkową, dla zdarzeń rozłącznych Ei∩Ej=∅:
![[;X=x_1\,1_{E_1}+x_2\,1_{E_2}+\cdots ;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?X=x_1\,1_{E_1}+x_2\,1_{E_2}+\cdots "X=x_1\,1_{E_1}+x_2\,1_{E_2}+\cdots")
Ech, koszmarnie to wygląda, wiec pozwólmy sobie uprościć zapis, niepoprawnie acz przejrzyście, zakładając że EiEj=0:
![[;X= x_1 E_1+x_2 E_2+\cdots;]](http://www.codecogs.com/gif.latex?X= x_1 E_1+x_2 E_2+\cdots "X= x_1 E_1+x_2 E_2+\cdots")
Zapiszmy zdarzenia na przekątnej macierzy n×n – jedynkami lub zerami, dokładnie jak poprzednio. Przykładowo, jeżeli Ω ={1,2,3,4}, zaś X przyjmuje wartość 3 na zbiorze E1={1} oraz -5 na zbiorze E2={2,3,4}, to w macierzowym zapisie
![[;E_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&-5&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix};]](http://www.codecogs.com/gif.latex?E_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&-5&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix} "E_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&-5&0&0\\0&0&-5&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix}")
Zdajmy sobie sprawę, że diagonalny zapis uzależniony jest od wyboru systemu prostopadłych osi - od bazy przestrzeni. O bazach była mowa w odcinku „M6 bazy liszki” – dla innych baz V (kolumny macierzy unitarnej – to ortogonalne wektory jednostkowe) wielkość obserwowana X – obserwabla – zostanie rozmyta, jakby spermutowana – już nie diagonalna, ale wciąż normalna, postaci X’=VXV*. Innymi słowy, uniezależniając się od systemu współrzędnych, obserwabla jest po prostu macierzą normalną, czyli – po zapisaniu wektorów własnych w postaci macierzy V – sprowadzalną do postaci diagonalnej. Gdy wartości – możliwie zespolone - są rzeczywiste, zwiemy ją macierzą hermitowską, samosprzężoną.
O tym już była mowa, jak kto uważał...
Więc, dla przykładu
![[;X’=\begin{pmatrix}-2.12&0&3.84&0\\0&-5&0&0\\3.84&0&0.12&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix};]](http://www.codecogs.com/gif.latex?X'’=\begin{pmatrix}-2.12&0&3.84&0\\0&-5&0&0\\3.84&0&0.12&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix} "X’=\begin{pmatrix}-2.12&0&3.84&0\\0&-5&0&0\\3.84&0&0.12&0\\0&0&0&-5\\\end{pmatrix}")
jest w istocie tą samą wielkością co X, jedynie zapisaną względem ortonormalnej bazy tworzącej kolumny poniższej macierzy:
![[;V=\begin{pmatrix}0.6&-0.8&0&0\\0&0&\imath&0\\0.8&0.6&0&0\\0&0&0&-\imath\\\end{pmatrix};]](http://www.codecogs.com/gif.latex?V=\begin{pmatrix}0.6&-0.8&0&0\\0&0&\imath&0\\0.8&0.6&0&0\\0&0&0&-\imath\\\end{pmatrix} "V=\begin{pmatrix}0.6&-0.8&0&0\\0&0&\imath&0\\0.8&0.6&0&0\\0&0&0&-\imath\\\end{pmatrix}")
Skąd i po co taki właśnie przykład? No, dla ilustracji potrzebna była w miarę prosta macierz unitarna, bez natłoku pierwiastków, które zwykle stadami się pojawiają. Za liczbami 0.6 i 0.8 kryje się pitagorejska trójka 3, 4, 5, zaś reszta została uproszczona, lecz nieco przyozdobiona liczbą urojoną. Ale proszę bardzo – każdy sobie może wymyśleć przykład ładniejszy...
Cztery – czy nawet osiem wymiarów (bo na tylu „żeruje” podana obserwabla X) – to na początek trochę za wiele, dużo powikłań, mało co widać, narysować trudno... Zostańmy więc przy dwóch wymiarach względem liczb zespolonych, czyli czterech względem liczb rzeczywistych. Wtedy obserwabla – macierz samosprzężona lub hermitowska – przyjmie postać
![[;\begin{pmatrix}a&x-\imath y\\x+\imath y&b\\\end{pmatrix};]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\begin{pmatrix}a&x-\imath y\\x+\imath y&b\\\end{pmatrix} "\begin{pmatrix}a&x-\imath y\\x+\imath y&b\\\end{pmatrix}")
gdzie a, b, x, y są liczbami rzeczywistymi. Parę liczb a, b na przekątnej zapiszmy inaczej, podstawiając a=z+t, b=z-t, nie zmniejszając ogólności ale wprowadzając pewną symetrię... również symetrie, w liczbie mnogiej:
![[;\begin{pmatrix}t+z&x-\imath y\\x+\imath y&t-z\\\end{pmatrix}=t \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}+x \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}+y \begin{pmatrix}0 & -\imath \\\imath & 0 \\\end{pmatrix}+z \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\\\end{pmatrix};]](http://www.codecogs.com/gif.latex?\begin{pmatrix}t+z&x-\imath y\\x+\imath y&t-z\\\end{pmatrix}=t \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}+x \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}+y \begin{pmatrix}0 & -\imath \\\imath & 0 \\\end{pmatrix}+z \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\\\end{pmatrix} "\begin{pmatrix}t+z&x-\imath y\\x+\imath y&t-z\\\end{pmatrix}=t \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}+x \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}+y \begin{pmatrix}0 & -\imath \\\imath & 0 \\\end{pmatrix}+z \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\\\end{pmatrix}")
Pierwsza macierz – to identyczność I=S0, z dwoma następnymi już się spotkaliśmy w odcinku “M5 – gdzie naprawdę obroty się obracają?”, gdzie oznaczyliśmy te symetrie przez S1 i S2, zaś teraz doszła czwarta symetria – S3. Te cztery symetrie tworzą bazę w czterowymiarowej (względem liczb rzeczywistych) przestrzeni – nawet algebrze! - dwu-wartościowych obserwabli. Noszą nazwę macierzy Pauliego. Wrócimy do nich jeszcze, ale potem, nawet nie w następnym odcinku.
Najważniejszą obserwacją jest to, iż rolę zdarzeń przejęły podprzestrzenie, lub równoważnie – projekcje (czyli rzuty) na nie. Wtedy zapis EF – uprzednio niepoprawny lub naciągany dla zdarzeń-zbiorów – dla projekcji jest po prostu ich złożeniem: najpierw działa F, potem E. Projekcje komutują, tzn. ich zlożenie jest przemienn, EF=FE, wtedy i tylko wtedy, gdy podprzestrzenie są ortogonalne, czyli EF=0, lub też jedna zawiera się w drugiej, czyli EF=E lub EF=F. W szczególności, uprzednia rozłączność zbiorów zastąpiona jest ortogonalnością podprzestrzeni, choć od czasu do czasu wypsknie nam się stare sformułowanie...
Ba! – nawet zbiór wektorów można nazywać zdarzeniem, choć naprawdę chodzi o podprzestrzeń rozpiętą przez te wektory. Na przykład, jednostkowy wektor u rozpina jednowymiarową podprzestrzeń E={αu}, zaś projekcja na nią dana jest macierzą E=uu* (znowu naciągamy oznaczenia, gdyż „E” oznacza tu dwa obiekty – podprzestrzeń i zarazem projekcję na nią). Zatem, macierz jednostkowa I – przekształcenie identycznościowe - oznacza również zdarzenie maksymalne – całą przestrzeń.
Kolej na prawdopodobieństwa... ale czas zakończyć na dziś.
